河北省衡水中学2017届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版）

这是一份河北省衡水中学2017届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（　　）
A．{x|3＜x≤5} B．{x|x≥5} C．{x|x＜3} D．R
2．已知复数z=，则=（　　）
A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
5．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）

A． B． C．﹣1 D．2
7．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（　　）
A． B．
C． D．以上答案均不正确
9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（　　）

A． B． C．5 D．2
10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（　　）
A． B．π C． D．
11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．已知函数 f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为　　．
14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为　　．
15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为　　．
16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的公差不为0，数列{bn}满足bn=（an﹣1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：

积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性不高
6
19
25
合计
24
26
50
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：K2=
p（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
21．已知函数f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设m=1，a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．
（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；
（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．
　

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（　　）
A．{x|3＜x≤5} B．{x|x≥5} C．{x|x＜3} D．R
【考点】并集及其运算．
【分析】求出集合A，然后求解并集即可．
【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，
B={x|x≤5}，
则A∪B=R．
故选：D．
　
2．已知复数z=，则=（　　）
A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数z====，则=﹣1﹣i．
故选：D．
　
3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．
【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，
∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度
故选A．
　
4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程求出三参数a，b，c，再根据离心率e=求出离心率．
【解答】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1
∵双曲线的方程是y2﹣x2=1
∴a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2．
故选：B．
　
5．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==
∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，
∴=0.7×4.5+0.35，
∴m=3，
故选：D．
　
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）

A． B． C．﹣1 D．2
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出y的值是以3为周期的函数，当i=2014=671×3+1时终止循环，求出输出的y值．
【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；
y=2，i=1；
y=1﹣=，i=2；
y=1﹣=﹣1，i=3；
y=1﹣=2，i=4；
…；
∴y的值是以3为周期的函数，
则当i=2014=671×3+1时，终止循环，
且输出的结果为y=2．
故选：D．
　
7．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．
【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，
∴f′（x）=x2cosx+cosx，
∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），
∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，
当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，
故选：C．
　
8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（　　）
A． B．
C． D．以上答案均不正确
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．
【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），
以及不等式组所确定的区域E，
如图所示，
则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：
P==．
故选：C．
　
9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（　　）

A． B． C．5 D．2
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图知，
该几何体为三棱锥，
底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC=90°，
其中AC=4，AB=3，BC=5，PB⊥底面ABC，且PB=5，
∴∠PBC=∠PBA=90°，
∴最长的棱为PC，
在Rt△PBC中，由勾股定理得，
PC===5．
故选：C．

　
10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（　　）
A． B．π C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值
【解答】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
　
11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轨迹方程．
【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
【解答】解：由题意得 圆心F（1，0），半径等于2，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径2＞|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．
故选D．
　
12．已知函数 f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]
【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．
【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．
【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，
g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，
若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，
即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，
即恒成立，
即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，
令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，
当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，
即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，
由于h′（1）=0，
∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，
当1≤x≤2时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（1）=1，
∴a≥1．
故选：B．
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为　25π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．
【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，
∴直六棱柱的外接球的直径为5，
∴外接球的半径为，
∴外接球的表面积为=25π．
故答案为：25π．
　
14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为　﹣2　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）
设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F（3，5）=﹣2
故答案为：﹣2

　
15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得的值，由此求得的值，可得||的值，再利用
两个向量的夹角公式求得向量与+2的夹角．
【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则=||•||•cos60°=2×1×=1，
再由=+4+4=4+4+4=12，可得||==2．
设向量与+2的夹角为θ，则cosθ====．
再由 0≤θ≤π可得 θ=，
故答案为．
　
16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　1　．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．
【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，
由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，
因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．
y'=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1．
故答案为：1．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的公差不为0，数列{bn}满足bn=（an﹣1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{an}的通项公式；
（2）求得数列{bn}的通项公式，采用乘以公比错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）等差数列{an}公差为d，首项为a1，
∵a1，a3，a7成等比数列．
∴a32=a1a7，
即（a1+2d）2=a1（a1+6d），
化简得d=a1，或d=0．
当d=a1，S3=3a1+×a1=9，得a1=2，d=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1，
数列{an}的通项公式an=n+1；
当d=0时，S3=3a1=9，a1=3，
∴数列{an}的通项公式an=3；
（2）若数列{an}的公差不为0，an=n+1，
bn=（an﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，
∴bn=n•2n，
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
两式相减：得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，
=2n+1﹣2﹣n×2n+1，
∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=（n﹣1）2n+1+2．
　
18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：

积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性不高
6
19
25
合计
24
26
50
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：K2=
p（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，即可求出概率；
（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率是多少？
（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是…
（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴．…
（Ⅲ）根据
∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．…
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
==．

　
20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…
解得：，
所以抛物线C1的方程为：y2=8x…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，
∵椭圆C2的离心率为，∴，，
∴椭圆C2的方程为：…
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0
由韦达定理得：，…
由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，
∴
=
=
=…②
由①、②得实数k的范围是或…
　
21．已知函数f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设m=1，a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）对函数g（x）求导，得到g'（x）=0，得到极值点，求出极值．
（Ⅱ）不妨设x2＞x1，则等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．
【解答】解：（Ⅰ），令g'（x）=0，得x=1，列表如下：
x
（﹣∞，1）
1
（1，+∞）
g'（x）
+
0
﹣
g（x）
↗
极大值
↘
∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；
（Ⅱ）当m=1时，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，x∈（0，+∞），
∵在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，
设，∵在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上为增函数，
不妨设x2＞x1，则等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），
设u（x）=f（x）﹣h（x）=，则u（x）在[3，4]上为减函数，
∴在[3，4]上恒成立，
∴恒成立，∴，x∈[3，4]，
设，∵，x∈[3，4]，
∴，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，
∴v（x）在[3，4]上的最大值，∴，∴a的最小值为；
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．
（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；
（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由曲线A的极坐标方程得到ρ2（3+sin2θ）=12，由此能求出曲线A的普通方程，由曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，能求出曲线B的一个参数方程．
（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中得，，由此利用韦达定理能求出|MP|+|NP|的值．
【解答】解：（1）∵，
∴ρ2（3+sin2θ）=12，
即曲线A的普通方程为，
∵曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，
∴由题得，曲线B的一个参数方程为（t为参数）．
（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，
把，代入中，
得，整理得，，
∴，
∴．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，
∴f（x）= …
∴f（x）＞4⇔或或…
⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …
综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） …
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立
⇔a+1＞（f（x））min…
由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，
∴x=﹣时，（f（x））min= …
a+1＞⇔a＞…
∴实数a的取值范围为（，+∞） …．
　

2017年4月10日