高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程学案

2．4　圆的方程

2.4.1　圆的标准方程

知识点一 圆的标准方程

1．圆的几何要素

圆的几何要素是圆心和半径.

2．圆的标准方程

圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r(r>0)．

知识点二 点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为M(x0，y0)，则

1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．

2．几种特殊位置的圆的标准方程

3．求圆的标准方程的常用方法

(1)几何法

利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．

(2)待定系数法

由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．

4．求圆的标准方程时常用的几何性质

求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：

(1)弦的垂直平分线必过圆心．

(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．

(3)圆心与切点的连线长是半径长．

(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．

5．与圆有关的最值问题

已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下：

(1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO.

(2)根据圆的几何性质知：

①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；

②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　)

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　)

(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．做一做

(1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　)

A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4

B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4

C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－3)2＋y2＝4

(2)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为，则此圆的标准方程为____________________.

(3)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标为________，半径为____________.

(4)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________.

答案　(1)A　(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝3　(3)(－2,2)　5　(4)点A在圆上

题型一 求圆的标准方程

例1　求过点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程．

[解]　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有

解此方程组，得

所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.

由得圆心的坐标为(－3,1)．

又圆的半径长r＝＝5，

所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

求圆的方程的两种方法

(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．

(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．

[跟踪训练1]　已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．

解　解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，

∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，

|OC|＝

＝＝3.

设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，

∴a＝±3.

∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.

解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.

∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．

代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.

∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.

题型二 点与圆的位置关系

例2　已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．

[解]　∵点A在圆C的内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0，∴a<－且a≠0，∴a的取值范围是a<－.

[条件探究]　将本例改为：已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．

解　解法一：由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，

∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，

∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，

∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．

解法二：由例2知点A在圆C的内部时，a<－，

∴点A不在圆C的内部时，a≥－，

又a≠0，

∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．

1．判断点与圆的位置关系的方法

(1)只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可；

(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．

2．求解参数范围

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．

[跟踪训练2]　若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，求实数a的取值范围．

解　∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a，－a)的距离大于半径2，

∴ >2，

解得a>1或a<－1.

题型三 与圆有关的最值问题

例3　(1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值；

(2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值．

[解]　(1)由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.

(2)据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.

[变式探究]　在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？

解　令t＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C(－1，0)，故t的最大值为，最小值为.

形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

[跟踪训练3]　(1)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值；

(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的最大值和最小值．

解　(1)将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2,0)为圆心，为半径的圆．

x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，

由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，

故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，

(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.

(2) 可以看成圆x2＋(y－1)2＝上的点P(x，y)到点A(2,3)的距离．

圆心(0,1)到点A(2,3)的距离

d＝＝2.

由图可知，圆上的点P(x，y)到点A(2,3)的距离的最大值是2＋，最小值是2－.

1．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

答案　B

解析　由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

2．(多选)已知圆C过点A(1,4)，B(3,2)，且圆心C在直线y＝0上，则(　　)

A．圆心坐标为C(－1,0)  B．半径长r＝5

C．点M1(2,3)在圆内  D．点M2(2,4)在圆外

答案　ACD

解析　因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2,3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C(－1,0)，A正确；半径长r＝＝2，B错误；所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20，点M1(2,3)到圆心的距离为＝<r，所以点M1在圆内，C正确；点M2(2,4)到圆心的距离为＝>r，所以点M2在圆外，D正确．故选ACD.

3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为__________________.

答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝25

解析　因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.

答案　2

解析　圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.

5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．

(1)求此圆的标准方程；

(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

解　(1)由题意，结合图①可知圆心C(3,0)，r＝2，

所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.

(2)如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.

由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2，

又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29

B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29

C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116

D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116

答案　B

解析　圆心为AB的中点(1，－3)，半径为＝

 ＝，故选B.

2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)

A．一个圆  B．两个圆

C．半个圆  D．两个半圆

答案　D

解析　由题意，得

即或

故原方程表示两个半圆．

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝1

答案　A

解析　解法一：(直接法)设圆心坐标为(0，b)，

则由题意知 ＝1，解得b＝2，

故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

解法二：(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

解法三：(验证法)将点(1,2)代入四个选项，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.

4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　)

A．2  B．1

C．  D．

答案　B

解析　方程(x＋5)2＋(y－12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.

5．(多选)已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是(　　)

答案　BC

解析　圆M的圆心为(a，－b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知，a>0，b<0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a<0，b>0，∴圆心(a，－b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a<0，b<0，∴圆心(a，－b)在第二象限，与图形不符．故选BC.

二、填空题

6．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________.

答案　[0,1)

解析　由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，

即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.

7．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________________.

答案　(x－3)2＋(y－4)2＝25

解析　∵|MA|＝＝5，

|MB|＝＝2，

|MC|＝＝，

∴|MB|<|MA|<|MC|，

∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，

∴圆的半径r＝|MA|＝5，

∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

8．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为________________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为________________.

答案　x2＋(y－1)2＝10　(x－3)2＋(y－2)2＝20

解析　当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，

半径r＝|AB|＝.

则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

则⇒

∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.

三、解答题

9．已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．

(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程；

(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程．

解　(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得

故圆P的标准方程为2＋2＝.

(2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝，

故圆心P，

故圆P的半径r＝＝，

故圆P的标准方程为2＋(y－2)2＝.

B级：“四能”提升训练

已知圆C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4,2)．

(1)求圆C的标准方程(用含x0的方程表示)；

(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．

解　(1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r>0)．∵圆C过点P(4,2)，

∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2，

∴r2＝2x－12x0＋20，

∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.

(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20

＝2(x0－3)2＋2，

∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.