数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案设计

2.4.2　圆的一般方程

知识点 圆的一般方程

　(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为 .

(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.

(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．

1．判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要“两看”：

一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0；

二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．

2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：

3．求轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．

(2)列出点M满足条件的集合．

(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.

(4)将上述方程化简．

(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．(　　)

(2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．(　　)

(3)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　)

(4)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)表示圆．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　)

A．(4，－6)，16  B．(2，－3)，4

C．(－2,3)，4  D．(2，－3)，16

(2)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________.

(3)过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________.

(4)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________.

答案　(1)C　(2)(2，－3)　(3)x2＋y2－3x－4y＝0　(4)m<1

题型一 圆的一般方程的定义

例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故m的取值范围为.

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.

二元二次方程与圆的关系

(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．

(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长．

[跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．

(1)x2＋y2＋x＋1＝0；

(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；

(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．

解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，

∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，

∴方程(1)不表示任何图形．

(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，

∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，

∴方程表示点(－a,0)．

(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，

∴D2＋E2－4F＝2a2>0，

∴方程(3)表示圆，它的圆心为，

半径r＝ ＝|a|.

题型二 求圆的一般方程

例2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心在x轴上，求圆的方程．

[解]　(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P，Q的坐标分别代入上式，

得

∵圆心在x轴上，∴－＝0，　③

联立①②③，解得

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.

求圆的方程的选择

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F.

[跟踪训练2]　根据下列条件求圆的一般方程．

(1)已知A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求△ABC外接圆方程的一般形式；

(2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2,1)，求圆C的一般方程．

解　(1)设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意知解得

∴△ABC外接圆方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.

(2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意知解得

∴圆的一般方程为x2＋y2－x－y＝0.

题型三 求动点的轨迹方程

例3　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．

[解]　(代入法)设点M(x，y)，点P(x0，y0)，

则∴

∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，

∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.

∴(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0.

即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　(定义法)设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA.

圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4,3)，|CP|＝2.

则点A的坐标为.

如图，在△OCP中，M、A分别是OP，OC的中点，

则|MA|＝|CP|，即|MA|＝1.

又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1.

∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．

∴点M的轨迹方程为(x－2)2＋2＝1.

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．

(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．

(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．

代入法用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可；定义法即动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程．

[跟踪训练3]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC中点M的轨迹方程．

解　 (1)解法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．

解法二：同解法一得x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．

解法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．

(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠－1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.

由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(x0－1)2＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.

因此，动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．

1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为(　　)

A．(0，－1)  B．(1，－1)

C．(－1，－1)  D．(0,1)

答案　A

解析　把圆的方程化为标准方程得：2＋(y＋1)2＝1－k2，r2＝1－k2，即S＝πr2＝π＝π，∴k＝0，∴圆心坐标为(0，－1)．

2．(多选)已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，则下列经过圆心的直线方程是(　　)

A．4x－y＋1＝0  B．2x＋y＋1＝0

C．4x＋y－1＝0  D．2x＋y－1＝0

答案　BC

解析　圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心坐标为(1，－3)，经检验B，C中直线过圆心．

3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________.

答案　

解析　D＝1，E＝m－1，F＝m2，∵r＝.

∴4r2＝1＋(m－1)2－2m2＝－(m＋1)2＋3≤3，

∴r2≤，∴S圆＝πr2≤，即所求最大面积为.

4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

答案　(－2，－4)　5

解析　方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即2＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.

5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.

(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；

(2)求圆M的方程．

解　(1)解法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．

又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，

即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，

则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.

因为直线BC的斜率kBC＝2，

所以直线AD的斜率kAD＝－，

由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为y－0＝－(x＋3)，

即直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得解得

所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，则(　　)

A．D＝0，E＝0，F≠0  B．F＝0，D≠0，E≠0

C．D＝0，F＝0，E≠0  D．E＝0，F＝0，D≠0

答案　C

解析　∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，∴D＝0，F＝0，E≠0.

2．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x＋4y＝0  B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0  D．x2＋y2－2x－4y＝0

答案　C

解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．

∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.

3．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　)

A．135°  B．45°

C．120°  D．90°

答案　A

解析　圆的半径r＝＝≤1，当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，∴直线的方程为y＝－x＋2，则tanα＝－1，又α∈[0°，180°)，∴α＝135°.故选A.

4．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，2)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)  D．(2，＋∞)

答案　D

解析　由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知解得a>2，故选D.

5．(多选)已知圆x2＋y2－ax－1＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．圆关于点对称

B．圆关于直线y＝0对称

C．圆关于直线x＋3y－＝0对称

D．圆关于直线x－y＋＝0对称

答案　ABC

解析　因为圆x2＋y2－ax－1＝0，即2＋y2＝＋1，圆心为，且关于经过点的直线对称．故选ABC.

二、填空题

6．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角为________.

答案　90°

解析　将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，注意到圆C过原点，易知△ACB为等腰直角三角形，因此弦AB所对的圆心角为90°.

7．圆C：x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的一般方程是________.

答案　x2＋y2－2x＝0

解析　圆x2＋2x＋y2＝0，即(x＋1)2＋y2＝1.由于圆心(－1,0)关于y轴对称的点为(1,0)，故圆C：x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

8．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是____________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为____________.

答案　x2＋y2＝9(y≠0)　(0,3)或(0，－3)

解析　线段BC的中点D为原点(0,0)，

设A(x，y)(y≠0)则由距离公式得＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0)．因为点B(－2,0)，C(2,0)，所以点B，C所在的直线方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝|BC|×|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0,3)或(0，－3)．

三、解答题

9．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．

(1)若P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．

解　(1)点P在圆C上，得m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4.∴点P为(4,5)．

故|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.

∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为.

(2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时，P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点．又圆心C(2,7)，半径R＝2，|QC|＝4，∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2.

B级：“四能”提升训练

已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，

由二次函数的图象解得－<t<1.

(2)由(1)知r＝＝ ，

∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，

所对应的圆的方程是2＋2＝.

(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，

∴8t2－6t<0，∴0<t<.