高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案，共12页。学案主要包含了圆与圆位置关系的判定，两圆相交的公共弦问题，两圆相切的有关问题等内容，欢迎下载使用。

2.5.2　圆与圆的位置关系




知识点 圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系
①两圆相交，有两个公共点；
②两圆相切，包括外切与内切；只有一个公共点；
③两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
(2)圆与圆位置关系的判定
①代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
②几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示





d与r1，
r2的
关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
d d＝|r1－r2|
0 |r1－r2|

1．圆与圆的位置关系
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．设两圆半径为r1，r2，两圆圆心距为d，则
两圆相离时d>r1＋r2；
两圆相交时|r1－r2| 两圆外切时d＝r1＋r2；
两圆内切时d＝|r1－r2|；
两圆内含时0 2．两圆相切
处理两圆相切问题的两个步骤：
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．
3．两圆相交
求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
4．圆系方程
(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
(2)过直线与圆交点的圆系方程
设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做
(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________.
(3)已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________.
(4)已知两圆的半径分别为1和5，若两圆相交，则圆心距d的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)x＋3y＝0　(3)(1,3)　(4)(4,6)



题型一 圆与圆位置关系的判定
例1　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1与圆C2内含？
[解]　对于圆C1，圆C2的方程，配方得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2相外切，则有
＝3＋2，
即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0，
解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则有
<3－2，
即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
解得－2
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
(3)如果判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．
[跟踪训练1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k<50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|<5<1＋，即k∈(14,34)时，两圆相交．
当1＋<5或|－1|>5，
即k∈(－∞，14)∪(34,50)时，两圆相离.
题型二 两圆相交的公共弦问题
例2　求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
[解]　联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．
解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，解得l＝，
故公共弦长2l＝2.
[结论探究]　本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截的弦长，如何求解？
解　由例2可知公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0，∴圆心C(3,1)到直线l的距离为d＝＝.
∴弦长为2 ＝4.

1．圆系方程
一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[跟踪训练2]　求过两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点，且与直线x－y－6＝0相切的圆的方程．
解　设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)，整理，得x2＋y2－x－＝0，
配方，得2＋y2＝，
因为圆与直线x－y－6＝0相切，
所以2＝.
化简得11λ＋8＝0，λ＝－.
所以所求圆的方程为3x2＋3y2＋32x－11＝0.
经检验x2＋y2－4x＝0也与直线x－y－6＝0相切．
所以所求圆的方程为3x2＋3y2＋32x－11＝0或x2＋y2－4x＝0.
题型三 两圆相切的有关问题
例3　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为____________；
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________；
(3)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解析]　(1)设所求圆的半径为r，
则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，
由题意得|C1C2|＝5，
即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
(3)已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
由题意，可得
解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
[答案]　(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169　(2)2或－5　(3)见解析

两圆相切时常用的性质
(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．
[跟踪训练3]　求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解　设所求圆的圆心为P(a，b)，
所以＝1.①
(1)若两圆外切，则有
＝1＋2＝3.②
由①②，解得a＝5，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
(2)若两圆内切，则有
＝2－1＝1.③
由①③，解得a＝3，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上，可知所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.



1．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝m(m>0)与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0有3条公切线，则m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　∵圆C1与圆C2有3条公切线，∴圆C1与圆C2外切，∴它们的圆心距等于半径之和．圆C2可化为(x－2)2＋(y－5)2＝16，∴d＝＝4＋，解得m＝1.
2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　)
A．r<＋1 B．r>＋1
C．|r－|<1 D．|r－|≤1
答案　D
解析　由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
3．(多选)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值可以为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．7
答案　BD
解析　∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，＝|2－r|，解得r＝7.当两圆外切时， ＝2＋r，解得r＝3.故选BD.
4．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为__________.
答案　1　5
解析　如下图，线段OC与圆O交于P′，与圆C交于Q′，当P在P′处，Q在Q′处时，|PQ|最小为|P′Q′|＝|OC|－1－1＝1.

同理可得，|PQ|的最大值为|OC|＋1＋1＝5.
5．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解　(1)设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0.①
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，|O1H|＝，
由圆心O1(0，－1)到直线①的距离得＝，得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
答案　B
解析　圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径为r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径为r2＝6，而|C1C2|＝＝5＝r2－r1，故两圆内切．
2．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案　D
解析　设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
3．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
答案　C
解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝＝＝8.
4．两圆相交于A(1,3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　)
A．－1 B．2
C．3 D．0
答案　C
解析　由题意知，直线AB与直线x－y＋c＝0相互垂直，则有×1＝－1，∴m＝5，∴AB的中点为(3,1)．由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，即3－1＋c＝0，∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3.
5．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.下列结论正确的为(　　)
A．当两圆外切时，m＝25＋10
B．当两圆内切时，m＝25－10
C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0
D．当m＝45时，两圆的公共弦长为
答案　ABC
解析　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，.对于A，当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10，正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10，正确；对于C，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，正确；对于D，两圆的公共弦长为2＝2，错误．故选ABC.
二、填空题
6．圆x2＋y2－16＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
答案　
解析　两圆的公共弦所在直线方程为4x－4y－4＝0，即x－y－1＝0，圆x2＋y2－16＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.由勾股定理得，半弦长为 ＝，∴公共弦长为.
7．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2
解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0 ，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.

8．设半径为4的两等圆O1，O2相交于A(2,1)和B(－2，－2)，则直线O1O2的斜率为________，圆心距|O1O2|＝________.
答案　－　
解析　直线AB的斜率kAB＝＝，∵O1O2⊥AB，如图所示，

∴直线O1O2的斜率k＝－.
设O1O2和AB的交点为M，
∵O1O2平分AB，
∴M是AB的中点，坐标为，
故|MA|＝，连接O1A，
则|O1M|2＝|O1A|2－|MA|2＝42－2＝.
∴|O1M|＝，同理|O2M|＝，
∴圆心距|O1O2|＝|O1M|＋|O2M|＝.
三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解　解法一：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，
即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
解法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x，由
解得或
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，
由得
所以所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
B级：“四能”提升训练
已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．
解　(1)设圆M的标准方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，又因为|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，由点到直线的距离公式得|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB的面积的最小值
S＝2＝2＝2.