高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案，共15页。学案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆标准方程的应用，椭圆的焦点三角形问题等内容，欢迎下载使用。
第三章　圆锥曲线的方程
3．1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程




知识点一　椭圆
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半称为半焦距．
(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
知识点二　椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


焦距
|F1F2|＝2c
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的
关系
a2＝b2＋c2

1．椭圆定义的应用
(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．
(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
2．椭圆标准方程的两种应用
由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)．
(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标．
(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化．
3．求椭圆标准方程的常用方法
(1)关键量代入法；
(2)待定系数法；
(3)定义法；
(4)相关点法．
4．椭圆的焦点三角形问题
解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为__________.
(3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝________，b＝________，c＝________.
(4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________.
答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6



题型一 椭圆的定义
例1　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠±3) B．＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
[解析]　(1)若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.
(2)∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．
[答案]　(1)C　(2)A

1．对椭圆定义的三点说明
(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
2．椭圆定义的两个应用
(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．
(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.
[跟踪训练1]　(1)下列说法中正确的是(　　)
A．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D．到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
答案　C
解析　A中，|F1F2|＝8，故到点F1，F2的距离之和为8的点的轨迹是线段F1F2；B中，到点F1，F2的距离之和为6的点的轨迹不存在；C中，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆；D中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(2)已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．

解　设圆P的半径为r.
又圆P过点B，∴|PB|＝r.
又圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
即点P的轨迹方程为＋＝1.
题型二 椭圆的标准方程
例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,3)；
(2)a＝8，c＝6；
(3)经过两点P1，P2.
[解]　(1)由题意，得2a＝＋＝12，
得a＝6.
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.
∴所求的椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意知解得
∵a2＝b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[解法探究]　本例(1)(3)有没有其他解法呢？
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得得
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
(3)设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意得解得
∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1.

求椭圆标准方程的方法
(1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．
(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点间的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．
②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
[跟踪训练2]　(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0