数学选择性必修 第一册3.2 双曲线学案

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线学案，共19页。学案主要包含了双曲线的简单几何性质，等轴双曲线，由双曲线的几何性质求标准方程，直线与双曲线的位置关系，弦长及中点弦问题，双曲线与其他知识的综合等内容，欢迎下载使用。

3.2.2　双曲线的简单几何性质




知识点一 双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图
形


性

质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c
关系
c2＝a2＋b2
范围
x≤－a，或x≥a，y∈R
y≤－a，或y≥a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
知识点二 等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝a2(a≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝.

1．双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关．
2．已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．
3．求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c，计算e＝；
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
4．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
5．直线与双曲线有一个公共点的两种情况
(1)直线与双曲线相切；
(2)直线与双曲线的渐近线平行．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率为.(　　)
(2)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)双曲线－y2＝1的实轴长为(　　)
A．4 B．2
C． D．1
(2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.
(3)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________.
(4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________.
答案　(1)A　(2)y＝±x　2　(3)1　　(4)－＝1



题型一 双曲线的简单几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，得a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x.
作草图：


(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．
(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．
依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形．
[跟踪训练1]　(1)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
答案　C
解析　因为0<θ<，所以sinθ>0，cosθ>0，所以双曲线C1的实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率e1＝，双曲线C2的实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ＝，焦距为2＝，离心率e2＝，所以两个双曲线的离心率相等．
(2)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±3x
答案　A
解析　椭圆＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)，双曲线my2－x2＝1(x∈R)的焦点坐标为，由题意得 ＝2，所以m＝，所以双曲线my2－x2＝1即－x2＝1的渐近线方程为y＝±x.
题型二 双曲线的离心率问题
例2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．
C．[2，＋∞) D．
(2)我们把离心率e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图是双曲线－＝1(a>0，b>0，c＝)的图象，给出以下几个说法：

①若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
②若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为________.
[解析]　(1)由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足 ∴3b2 ∴e2<，∴－1，∴1 (2)①正确．由得c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，该双曲线是黄金双曲线．
②正确.＝(c，b)，＝(－a，b)．
因为∠F1B1A2＝90°，所以·＝0.
所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac，由①可知该双曲线是黄金双曲线．
③正确．由解得M，N的坐标分别为，，所以O＝，O＝.
因为∠MON＝90°，所以O·O＝c2－＝0，即b2＝ac，由①知该双曲线是黄金双曲线．
[答案]　(1)B　(2)①②③
[条件探究]　若把本例(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？
解　由题可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要＝，得e2＝1＋2＝4，则e＝2.


1．求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
2．求双曲线离心率范围的思路
求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
[跟踪训练2]　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　因为双曲线－＝1的离心率为，所以e1＝＝＝，化简得a＝2b，所以椭圆＋＝1的离心率为e2＝＝＝＝.
(2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(　　)
A．4＋2 B．＋1
C．－1 D．
答案　B
解析　设边MF1的中点为P，由题意知，MF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos60°＝2c×＝c，|PF2|＝|F1F2|sin60°＝2c×＝c，根据双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝c－c，所以e＝＝＝＋1.
题型三 由双曲线的几何性质求标准方程
例3　求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线的方程及其离心率．
[解]　解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以b＝a　①.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1　②.联立①②所得的方程组无解．
(2)设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以a＝b　③.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1　④，联立③④得a2＝，b2＝4.所以所求双曲线方程为－＝1且离心率e＝.
解法二：设与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝－＝－，所以所求双曲线方程为－＝－，即－＝1.从而可求得离心率e＝.

巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
[跟踪训练3]　根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解　(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设其方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2，所以a2＝b2.①
又双曲线过P(3，－)，
∴－＝1，②
由①②得a2＝b2＝4，
故双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设其方程为－＝1(a>0，b>0)，
同理有a2＝b2，③
－＝1，④
由③④得a2＝b2＝－4(舍去)．
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知半焦距为＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知条件，有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型四 直线与双曲线的位置关系
例4　已知双曲线的方程为x2－＝1，直线l过点P(1,1)，斜率为k.当k为何值时，直线l与双曲线：有一个公共点？有两个公共点？无公共点？
[解]　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．
由得
(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.　(*)
当k2－2＝0，即k＝±时，方程(*)只有一个解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝，则方程(*)只有一个解，直线l与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ>0，即k<，则方程(*)有两个解，直线l与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ<0，即k>，则方程(*)无解，直线l与双曲线无公共点．
综上所述，当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点；
当k<，且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点；
当k>时，直线l与双曲线无公共点．

判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
[跟踪训练4]　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
解　由消去y并整理，得
(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意，知
解得－ 故实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，).
题型五 弦长及中点弦问题
例5　已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|；
(2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．
[解]　(1)由题意知，直线l的方程为y＝x＋1，
联立方程组消去y得3x2－2x－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
|AB|＝
＝＝.
(2)解法一：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋1.
由消去y得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴4－k2≠0，Δ＝(－2k)2－4×(－5)(4－k2)>0.
即－ x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∵M为AB的中点，∴
由①②消去k得4x2－y2＋y＝0，
∵－1.
∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)．
解法二：设中点M的坐标为(x，y)，
弦AB端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)．
则即
又∵A，B两点在双曲线上，∴
由①－②得4(x－x)＝y－y，
∴4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．
∵x1≠x2，＝＝＝，
即kAB＝，
又∵P，M两点在直线l上，∴kAB＝kPM＝.
∴＝，即4x2－y2＋y＝0.
由解法一知y的取值范围为y<－4或y>1，
∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)．

1．弦长公式
直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.在运用弦长公式时，注意根与系数关系的应用．
2．弦中点问题的解决方法
对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度．
另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决．
[跟踪训练5]　已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，若P为AB的中点．
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长．
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入双曲线方程3x2－y2＝3，得3x－y＝3,3x－y＝3，
两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
即·＝3.
所以直线AB的斜率
kAB＝＝＝＝＝6.
经检验k＝6符合题意，所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.
(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0，
由弦长公式得|AB|＝
＝，
得|AB|＝ ，
所以|AB|＝.
题型六 双曲线与其他知识的综合
例6　已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)若A，B是W上不同的两点，O是坐标原点，求·的最小值．
[解]　(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.
又半焦距c＝2，故虚半轴长b＝＝.
所以W的方程为－＝1(x≥ )．
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2.
从而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
y＝kx＋m，与W的方程联立，消去y得
(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0.
故x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝＋＋m2
＝＝2＋.
又因为x1x2＞0，所以k2－1＞0，从而·＞2.
综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.

此类题涉及的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值．
[跟踪训练6]　已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解　(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，有－＝1.
由题意又有·＝，
即x－5y＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设＝(x3，y3)，因为＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
由②式得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.



1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)
A．(0,12) B．(0,6)
C．(－6,0) D．(－12,0)
答案　D
解析　双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝.又因为e∈(1,2)，则1<<2，解得－12 2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案　D
解析　设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则由已知得解得a2＝b2＝18，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
3．(多选)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则(　　)
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有2个交点
答案　ABD
解析　如图，由题意知，△PF1F2是直角三角形，且＝2ctan30°，又c2＝a2＋b2，得c2－a2＝ac·，即e－＝，得e＝，A正确；由＝，得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，B正确；|PF2|＝＝c，|AF2|＝a＋c＝c，则tan∠PAF2＝＝－1，∠PAF2≠45°，C错误；直线x＋2y－2＝0与双曲线的渐近线不平行，∴其与双曲线有2个交点，D正确．故选ABD.

4．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则＝________.
答案　－
解析　双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线为x±y＝0，直线y＝1－x与x±y＝0联立，可得A，B，则AB的中点为.由过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，可得＝＝－，则＝－.
5．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．
解　设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－4
C．4 D．
答案　A
解析　双曲线的标准方程为y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－.由题意，得b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
2．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)
A．1或5 B．6
C．7 D．9
答案　C
解析　∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，
∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　将y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，则
即∴－ 4．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　)
A. B．
C. D．与P点位置有关
答案　A
解析　设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，
∴kPA·kPB＝·＝
＝＝＝.
5．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1
C．m1 D．m 答案　A
解析　由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n.又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.
6．(多选)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是(　　)
A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化
C．渐近线不变 D．离心率不变
答案　ABC
解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC.
二、填空题
7．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝________.
答案　4
解析　如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：

∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，化简得a＋3a＝4c2，该式可变形为＋＝4，∴＋＝4.
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________.
答案　9
解析　因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．故所求最小值为9.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是________，∠AF1F2＝________.
答案　x±y＝0　
解析　由题意，在双曲线中，e2＝1＋＝3⇒＝，所以渐近线方程是x±y＝0；由离心率的定义知，|F1F2|＝2a，把x＝c代入双曲线方程得y＝±2a，所以|AF2|＝2a，tan∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝.
三、解答题
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3,2)．
(1)求双曲线方程与其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．
解　(1)由题意得解得
∴双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，
∴k2＝7，∴k＝±.
若3－k2＝0，即k＝±，则直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，
此时直线l与双曲线C只有一个公共点，∴k＝±或k＝±.
B级：“四能”提升训练
1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
(2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线y＝x 对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由消去y得，(3－a2)x2－2ax－2＝0.①
依题意即－ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0，但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
由③④知，(a2＋1)·＋a·＋1＝0.
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A，B关于y＝x对称，
则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，∴a＝－2.
直线l的方程为y＝－2x＋1.
将a＝－2代入③得x1＋x2＝4.
∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3.
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上．
即不存在实数a，使A，B关于直线y＝x对称．
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解　(1)依题意，直线l的方程为：＋＝1，即bx－ay－ab＝0.
由原点O到l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设直线m的方程为y＝kx－1，
设点M，N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.(*)
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知
x1＋x2＝，x1x2＝.
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±.
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不相等的实数根，满足条件．
故直线m的方程为y＝x－1或y＝－x－1.