人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案设计，共18页。学案主要包含了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦问题，与抛物线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题，抛物线中的定值、定点问题等内容，欢迎下载使用。

3.3.2　抛物线的简单几何性质




知识点 抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形




性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称
轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心
率
e＝1
开口
方向
向右
向左
向上
向下

1．焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径
|PF|
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0
|PF|＝
y0＋
|PF|＝
－y0
焦点弦
|AB|
|AB|＝
x1＋x2＋p
|AB|＝
p－x1－x2
|AB|＝
y1＋y2＋p
|AB|＝
p－y1－y2
(2)若AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，则可得到以下结论：
①|AB|＝2；
②|AB|＝；
③x1x2＝，y1y2＝－p2；
④＋为定值；
⑤S△AOB＝.
2．通径
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p.

3．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
4．直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
5．直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形．(　　)
(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．(　　)
(3)抛物线是轴对称图形．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是____________________.
(2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.
(3)抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为________.
(4)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________.
答案　(1)x2＝16y　(2)4　(3)y轴　(4)16



题型一 抛物线的简单几何性质
例1　(1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[解]　(1)抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.

与抛物线几何性质相关问题的求解策略
(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．
(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解．
[跟踪训练1]　如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．

(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；
(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.
解　(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由AB＝2得E(，0)，

∴A(，1)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则1＝2·p·，
∴2p＝.
∴抛物线方程为y2＝x.
(2)由(1)知2p＝，∴＝，
∴抛物线的准线方程为x＝－，
焦点坐标为，离心率e＝1.
题型二 直线与抛物线的位置关系
例2　已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？
[解]　直线l：y－1＝k(x－1)，
将x＝－代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0.
①k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x，得x＝－，直线l与抛物线C只有一个公共点.
②k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.
由Δ＝0得，k＝，
∴当k<或k>时，Δ<0，l与C无公共点．
当k＝时，Δ＝0，l与C有且只有一个公共点．
当0，l与C有两个公共点．
综上知，k<或k>时，l与C无公共点；
k＝或k＝0时，l与C只有一个公共点；

直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
①若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
[跟踪训练2]　已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
解　当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0,2)可知，直线l就是y轴，其方程为x＝0.
由得y2＝0.
因此，此时直线l与抛物线C只有一个公共点O(0,0)．
如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋2.
这个方程与抛物线C的方程联立得方程组
由方程组消去x得方程，ky2－6y＋12＝0.①
当k＝0时，得－6y＋12＝0，即y＝2，可知此时直线l与抛物线相交于点.
当k≠0时，关于y的二次方程①的判别式Δ＝36－48k.
由Δ＝0得k＝，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为y＝x＋2，即3x－4y＋8＝0.
因此，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋8＝0或y＝2.
题型三 抛物线的焦点弦问题
例3　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
[解]　①如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.

设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝－为抛物线的准线．
过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，
则由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
因为|AB|＝8，所以x1＋x2＋p＝8.(*)
由消去y，得x2－3px＋＝0，
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
所以x1＋x2＝3p.
将其代入(*)，得p＝2，
所以所求抛物线方程为y2＝4x.
②当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可得抛物线方程为y2＝－4x.
综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.

抛物线焦点弦问题的求解方法
解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
[跟踪训练3]　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.
题型四 与抛物线有关的中点弦问题
例4　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
[解]　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，
∴＝1，解得p＝2.所求抛物线方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1　①，y＝4x2　②，
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
∴＝2，
∴所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
[变式探究]　若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由．
解　存在．
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，　①
y＝4x2, ②
且y1＋y2＝2，
由②－①，得y－y＝4(x2－x1)，∴＝2.
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

“中点弦”问题的两种解题策略
(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
[跟踪训练4]　已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．
解　设弦AB的中点为M，并设A，B，M的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x，y)．
由题意有
由①－②，得y－y＝2(x1－x2)，所以＝.
又因为kAB＝kMQ，即＝.
所以＝，即y2－y＝x－2，
所以2＝x－.
故弦AB的中点的轨迹方程为2＝x－.
题型五 与抛物线有关的最值问题
例5　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
[解]　设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝＝2＋.
∴当t＝时，d有最小值.
[解法探究]　本例有没有其他解法呢？
解　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0(m≠－8)，

由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，
∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.

解决与抛物线有关的最值问题的思路
在解决有关抛物线的最值问题时，要合理地转化，化折(线)为直(线)，同时，可以采用几何法求解，即运用抛物线的定义或转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离；也可采用代数法，即转化为求二次函数的最值．
[跟踪训练5]　求抛物线y2＝64x上的点到直线4x＋3y＋46＝0的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标．
解　解法一：设点P(x0，y0)是抛物线上的任意一点，则x0＝，点P到直线4x＋3y＋46＝0的距离
d＝＝
＝，
所以当y0＝－24，x0＝9时，d有最小值2，即抛物线上的点到直线的最小距离等于2，这时抛物线上的点的坐标为(9，－24)．
解法二：(切线平移法)因为无实根，所以直线与抛物线没有公共点．设与直线平行的直线为
y＝－x＋b，
则消去x得y2＋48y－48b＝0，①
设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点，所以判别式Δ＝482－4(－48b)＝0，b＝－12，代入①式得y＝－24，x＝9，即P(9，－24)到直线4x＋3y＋46＝0的距离最近，
最近距离为d＝＝2.
题型六 抛物线中的定值、定点问题
例6　已知抛物线x2＝2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A，C在第一象限)，且M，N分别是AB，CD的中点．
(1)若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；
(2)设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC＋4kBD＝0，求证：直线AC过定点，并求此定点．
[解]　(1)由题意，得抛物线的方程为x2＝2y，则焦点F，
设AB的方程为y＝kx＋，
联立得x2－2kx－1＝0，
M，同理N，
∴S△FMN＝|FM|·|FN|＝ ·＝ ≥1.
当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，AB的方程为y＝kx＋，
联立得x2－2kx－1＝0，
∴x1x2＝－1，同理，x3x4＝－1，故
kAC＋4kBD＝＋4·
＝＋4·

＝(x1＋x3)＋2(x2＋x4)
＝(x1＋x3)－2
＝(x1＋x3)＝0.
注意到点A，C在第一象限，x1＋x3≠0，故得x1x3＝4，
直线AC的方程为y－＝(x－x1)，
化简得y＝x－即y＝x－2.
所以直线AC恒过定点(0，－2)．

解决抛物线中的定值、定点问题的方法
在直线与抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解此类问题的方法一般有两种：
(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；
(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．
[跟踪训练6]　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

证明　设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4·xB＝，即xB＝，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．



1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
答案　C
解析　因为顶点在原点，对称轴是y轴，则开口向上或向下，由＝3，得p＝6.故方程为x2＝±2py＝±12y.
2．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB长是(　　)
A．2 B．4
C．8 D．1
答案　C
解析　抛物线x2＝－8y，通径为|－8|＝8.故选C.
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．|BF|＝2
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
答案　ACD
解析　如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝，联立

得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2，A正确；由p＝2，得抛物线C的方程为y2＝4x，xB＝，则|BF|＝＋1＝，B错误；
|BD|＝＝，∴|BD|＝2|BF|，C正确；|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD的中点，D正确．故选ACD.
4．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于________.
答案　
解析　由消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，
∴a＝.
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，
∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24
C．36 D．48
答案　C
解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，|AB|即通径为2p＝12，∴p＝6，点P到AB的距离为p＝6，∴S△ABP＝×12×6＝36. 故选C.
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
答案　B
解析　kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质，得x1x2＝，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝＝－4.
3．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2.
4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于(　　)
A．9 B．6
C．4 D．3
答案　B
解析　设A，B，C三点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线的定义，有||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，
得k＝.故选D.
6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则以下说法正确的是(　　)
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
答案　ABC
解析　对于A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形的性质可得|NN1|＝＝＝，故B正确；对于C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1(k≠0)，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．故选ABC.
二、填空题
7．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.
答案　
解析　可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，解得m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
8．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为____________.
答案　y2＝12x或y2＝－4x
解析　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，　①
直线变形为y＝2x＋1，　②
设抛物线截直线所得弦长为AB.
联立消去y得(2x＋1)2＝ax，
整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝＝，
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
9．过点P(2,2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在的直线方程为________.
答案　3x－4y＋2＝0
解析　解法一：设以P为中点的弦AB的端点坐标为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
y＝3x1，①
y＝3x2，②
y1＋y2＝4.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)．④
将③代入④，得y1－y2＝(x1－x2)，即＝，
∴kAB＝.
∴所求弦AB所在直线方程为y－2＝(x－2)，
即3x－4y＋2＝0.
解法二：显然弦AB所在直线的斜率存在，故设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋2.
由消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0，
此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y1＋y2＝，又y1＋y2＝4，∴k＝.∴所求弦AB所在直线方程为3x－4y＋2＝0.
三、解答题
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解　(1)由抛物线的定义可知，|PF|＝2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由y2＝4x，得F(1,0)，
∴过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝(x－1)．
与y2＝4x联立，消去x，得y2－4y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4.
∴S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝·|OF|·|y1－y2|＝×1×＝4.
B级：“四能”提升训练
1．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.
(1)求抛物线的方程及y1y2的值；
(2)若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．
解　(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线x＝＝1，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.
由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则＝·＝·＝.
设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，
消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，
同理y2y4＝－4.
故＝＝＝＝＝，为定值．
2．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
解　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知x1>0，x2>0.
由
得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.