新教材高二数学第二学期期末试卷十（原卷版+教师版）

这是一份新教材高二数学第二学期期末试卷十（原卷版+教师版），共23页。
新教材高二数学第二学期期末试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
2. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 24
3. 已知的图像如图所示，则的解析式可能为（ ）


A. B.
C D.
4. 某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为，则小张第2天去乙餐厅的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 或 D. 或


6. 甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A. 30种 B. 54种 C. 84种 D. 120种
7. 已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A. 0 B. C. D.
8. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，若，则实数a的值可以为（ ）
A. B. C. 1 D.
10. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（ ）
A. 若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B. 变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强
C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为
11. 已知实数m，n满足，则下列结论正确是（ ）
A. B.
C. D.


12. 一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（ ）
A. 若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为
B. 若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为
C. 若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为
D. 若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币n次，若正面向上的次数为0或n，则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%，则n的最小值为___________.
14. 同时满足性质：①；②；③当时，的函数的一个解析式为___________.
15. 数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.
16. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则的取值范围为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 对于函数，
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若的展开式的各二项式系数的和为，试解不等式.








18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.
x（个）
1
2
3
4
5
6
7
y（件）
891
888
351
220
200
138
112
（1）根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；
（2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.
参考数据（其中，，，，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.





19. 已知函数，在处切线斜率为-2.
（1）求的值及的极小值；
（2）讨论方程的实数解的个数.









20. 某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，部分统计数据如下表：
性别
参与意愿
合计
愿意参与
不愿意参与
男性
48

60
女性

18

合计


100
（1）请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；
（2）为了更详细了解情况，在100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，.
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3841
6.635
7.879
10.828













21. 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响.
（1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；
（2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.









22. 设函数.（为自然常数）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.













新教材高二数学第二学期期末试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的性质，结合一元二次方程的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，显然，不符合题意，
当时，，因为，
所以必有，
当时，，显然，不符合题意，
故选：C
2. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分两种情况抽取即可.
【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：
第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种.
第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案.
故选：A.
3. 已知的图像如图所示，则的解析式可能为（ ）


A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除A、D，再利用特殊值排除B.
【详解】解：由图可知函数的定义域为，且函数图象关于原点对称，即为奇函数，
令，则，故为偶函数，
令，则，故为奇函数，
令，则，故为偶函数，
所以、均为偶函数，故A、D错误；
故、均为奇函数，
对于B：，，，故B错误；
故选：C
4. 某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为，则小张第2天去乙餐厅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】设 “第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，小张第天去乙餐厅用餐的概率为.
故选：D.
5. 的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，令，求出，即可求出展开式的常数项，从而求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为，解得，
令，解得，所以展开式中项为，
当时项的系数为，当时项的系数为.
故选：C
6. 甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A. 30种 B. 54种 C. 84种 D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可
【详解】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有
故选：B
7. 已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项分布的方差计算公式得出，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数．
【详解】由题意，，则，
又，则，解得
故选：A
8. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.
【详解】由题意知：，，；
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，即；
设，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，若，则实数a的值可以为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】ACD
【解析】
分析】根据分段函数，分别以，，讨论，求解方程可得答案.
【详解】解：因，，所以
当时，，所以，
所以，解得，所以满足；
当时，，所以，
所以，解得，满足题意；
当时，，所以，
所以，解得，满足题意；
故选：ACD.
10. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（ ）
A. 若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B. 变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强
C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用回归直线的相关知识可判断A选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可判断B选项；利用残差平方和与模型的拟合效果的关系可判断C选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，A错；
对于B选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，B对；
对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对；
对于D选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，D对.
故选：BCD.
11. 已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.
【详解】由知， ，故，A正确；
由得，，所以，即，故B错误；
因为指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C正确；
根据, 对数函数 为单调减函数,
故，故D错误，
故选：AC
12. 一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（ ）
A. 若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为
B. 若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为
C. 若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为
D. 若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断A、C；由古典概型的概率可判断B；由条件概率的公式可判断D.
【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为，取到的球颜色相同的概率为，所以A正确；
从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，取到的球颜色不同有种，所以，颜色不相同的概率为，所以B正确；
从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：，所以其中有白球的概率为，所以C不正确；
从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件，另一个也是白球为事件，则，所以D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币n次，若正面向上的次数为0或n，则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%，则n的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】先表示出顾客获得一等奖的概率，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由题，抛掷一枚硬币正面向上的概率为，
所以抛掷一枚硬币n次，正面向上的次数为0的概率为，正面向上的次数为n的概率为,
所以顾客获得一等奖的概率为，
由题，则，
因为，则可解得，即，
所以n的最小值为8.
故答案为：8.
14. 同时满足性质：①；②；③当时，的函数的一个解析式为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据性质依次得出结论可写出.
【详解】由①，即，则是偶函数，
由②，可得可以是幂的形式，
由③当时，可得在单调递减，
综上，可得的一个解析式可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.
【答案】12
【解析】
【分析】讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.
【详解】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；
当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；
当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；
当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；
当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；
当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；
综上，共有12个“吉祥数”.
故答案为：12
16. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，根据二次函数的对称性可得，结合对数的运算可得，进而化简原式为，再根据图象分析得，利用基本不等式结合单调性与最值求解即可
【详解】如图，根据题意有，，即，解得，故.又，当时有，故.故，当且仅当，即时取等号.又当时，；当时，，故的取值范围为


故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 对于函数，
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若的展开式的各二项式系数的和为，试解不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义得解；（2）根据二项式的展开式的各二项式项系数和计算a，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，所以.
则，即，所以.
（2）由的展开式的各二项式项系数和为，得，
所以.
由，得，则，所以.
故的解集为.
18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.
x（个）
1
2
3
4
5
6
7
y（件）
891
888
351
220
200
138
112

（1）根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；
（2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.
参考数据（其中，，，，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）
（2）两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下
【解析】
【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，
再代入参考数据得到
(2) 将代入回归方程得到，
故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.
【小问1详解】
由表中数据可得更适宜.
，
令，设y关于t的线性回归方程为，
则
则，
故y关于x的回归方程为
【小问2详解】
由回归方程可知，随x的增大，y逐渐减少，
当时，，
故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.
19. 已知函数，在处切线的斜率为-2.
（1）求的值及的极小值；
（2）讨论方程的实数解的个数.
【答案】（1），极小值为；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）由函数在处切线的斜率为-2，可得，解方程得出的值；对函数求导，列表格判断出单调性，进而可得函数的极小值；
（2）由（1）的单调性以及极限趋势，分类讨论的范围，可得实数解的个数．
【详解】解：（1），
因为在处切线的斜率为-2，所以，则.
，令，解得或，
当x变化时，，变化情况如下：
x

-2

1



0

0


单调递增

单调递减

单调递增
故的极小值为.
（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.
当或时，方程有1个实数解；
当或时，方程有2个实数解
当时，方程有3个实数解.
20. 某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，部分统计数据如下表：
性别
参与意愿
合计
愿意参与
不愿意参与
男性
48

60
女性

18

合计


100

（1）请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；
（2）为了更详细的了解情况，在100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，.
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列联表答案见解析，认为男性比女性更愿意参与活动
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】（1）根据数据完善列联表，再计算卡方进行独立性检验即可；
（2）根据超几何分布的分布列求解概率与分布列，再根据数学期望公式求解即可
【小问1详解】
列联表补充完整如下
性别
参与意愿
合计
愿意参与
不愿意参与
男性
48
12
60
女性
22
18
40
合计
70
30
100
零假设为：参与意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
对照附表，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.
【小问2详解】
X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




根据超几何分步的数学期望有.
21. 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响.
（1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；
（2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）甲，乙两人累计得分之和为4共有3种情况，甲投中2次乙没投中，甲投中1次乙投中1次，甲没投中乙投中2次，然后利用互斥事件的概率公式求解即可，
（2）根据题意，可得他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为，整理后将代入化简可求得其最大值
【小问1详解】
由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为

【小问2详解】
他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为

，
因为，所以，
令，由，及，得，
，
当时，P的最大值为.
故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
22. 设函数.（为自然常数）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；（2）先根据定义域得到，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
在区间上有意义，故在上恒成立，可得，
依题意可得：在上恒成立，
设，
，易知上单调递增，故，
故在上单调递减，最小值为，
故只需，设，其中，
由可得：在上为减函数，
又，故.
综上所述：a的取值范围为.
【点睛】已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高.