河北省衡水中学2023届高三上学期三调试题数学（解析版）

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河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试数  学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.    第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合（为自然对数的底数），则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合由交集的运算可得答案.【详解】集合， ，.故选：C．2. 已知的终边与单位圆交于点，则（    ）A.  B.  C.  D. －1【答案】A【解析】【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可【详解】由题得，所以.故选：A3. 若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．【详解】由已知，所以，，当且仅当时等号成立．故选：A．4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，由题意可得，可得，当时，，故选：D.5. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称C. 在区间上的最小值为 D. 的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数的解析式，再逐项判断作答.详解】观察图象知，，而，解得或，函数周期，由图象知，即，因此，解得，由五点作图法知，，当时，；当时，，不符合题意，所以，，，的最小正周期为，A不正确；因为，即的图象关于点不对称，B不正确；当时，，则，在区间上的最小值为，C不正确；因为，因此的图象关于直线对称，D正确.故选：D6. 若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，可得出函数的最小正周期与单调递增区间，可求得的值，结合正切型函数的图象与单调性可求得函数的增区间，即可得解.【详解】作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为，对于函数，其最小正周期为，可得，则，由，解得，其中，所以，的单调递增区间为，所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减.故选：C7. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，【详解】设表高为，则，，而，得，，故，得，故选：D8. 已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知可得.令，.根据函数的单调性，可得.结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解只能是.进而得到实数的取值范围，即可得出答案.【详解】当时，原不等式可化为，整理可得；当时，原不等式可化为，整理可得.所以不等式可化为.令，，则.所以在上单调递增，在上单调递，所以.因为，所以.又.所以要使只有一个整数解，则唯一整数解只能是.又因为点，是图象上的点，所以.因为， ，，，所以实数的可能取值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：去绝对值后，根据的单调性，即可得到，进而得到，即可得到唯一整数解为.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B. 若，则为等腰三角形C. 命题“若，则”是真命题D. 若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】【分析】由为锐角三角形，可得，根据正弦函数的单调性以及诱导公式可得.取为钝角，可知满足题意，即可判断A项；由已知可得或，即可判断B项；根据正弦定理，即可判断C项；根据余弦定理可求出，即可判断D项.【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．故选：AC.10. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）A. ，若恒成立，则B 若，则，C. 若，则D. 若，且，则【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，取特殊值可知有解，即可判断A项；根据余弦函数的性质解，即可判断B项；先求出的图像关于点对称，然后根据已知条件结合函数的对称性，即可判断C项；先求出的图像关于直线对称，然后根据已知条件结合函数的对称性，可求出，代入求解即可判断D项.【详解】对于A，因为，所以，；取，，则，，有，所以，故A正确；对于B，若，即，所以，或，，即，或，，故B错误；对于C，解，，得，，所以的图像关于点对称.又，即，所以，所以，故C正确；对于D，解，，得，，又，所以.即函数关于直线对称.又由已知可得， ，所以，故D正确．故选：ACD.11. 在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（    ）A. B. C. 若，则D. 函数的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据定义计算，故A错误；计算得到BC正确；化简得到，取得最大值4，故D错误，得到答案.【详解】对选项A：，故A错误；对选项B：，故B正确；对选项C：，，分子分母同除以，得，故C正确，对选项D：，当时，取得最大值4，故D错误．故选：BC12. 已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AC【解析】【分析】由已知可得或.将代入函数，根据导函数得出极值点个数；将代入函数，可得.令，求得导函数，经分析可得在区间上单调递增.又，，根据零点存在定理以及的单调性，可知的单调性，同理可得出在上的单调性.进而可知为偶函数，根据偶函数的性质即可得出在上的单调性，进而得到极值点的个数.【详解】解：由，得，即，解得或.又，所以或. ①当时，，，且.令，则，所以单调递增，即单调递增.则当时，，在区间上单调递减；当时，，区间上单调递增.所以在区间上只有1个极值点；②当时，，，且.令，则.令，则区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以在区间上单调递增.又，，根据零点的存在定理，可知使得，当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.所以在处有最小值.又，，显然.根据的单调性以及零点的存在定理，可得，使得，当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.又，所以为上的偶函数.所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值.故在区间上共有3个极值点.综上，在区间上有1个或3个极值点．故选：AC.【点睛】关键点点睛：已知函数为偶函数，研究函数的单调性或极值时.可先根据导函数，研究时，函数的性质，进而根据偶函数的性质，得到整个定义区间上的性质.第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则___________.【答案】##【解析】【分析】由差的正弦公式化简即可得出.【详解】因为，所以，整理可得，即.故答案为：.14. 已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.【答案】1【解析】【分析】利用赋值法结合所给已知条件即可解决问题.【详解】因为， 令所以，所以，又的图像关于直线对称， 所以，令，则，即，所以.故答案为：1.15. 已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.【详解】当时，，故为偶函数，当时，，画出在上的图象如图所示，要想保证方程在上有三个不同的实根，则，故答案为：16. 据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．【答案】##【解析】【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．设台风移动小时后的位置为，则.又，，在中，由余弦定理，得，由可得，，整理可得，，解得，又，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若，求实数t的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】因为为R上的奇函数，所以．当时，，则．因为是奇函数，所以，所以.【小问2详解】当时，，则在上单调递增．因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增．由，可得，所以，解得，故实数t的取值范围是．18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：（1）求B；（2）若D在上，且，求的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.【小问1详解】若选①，由正弦定理得，即，即∴，∵，∴，若选②,∵，∴，即，即（舍）或，∵，∴，【小问2详解】∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，，由重要不等式得，当且仅当时取等，所以所以边上的高的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：所以边上的高的最大值为．19. 已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长．【小问1详解】因为，设函数的周期为，由题意，即，解得，所以.【小问2详解】由得：，即，解得，因为，所以，因为的平分线交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.20. 在中，内角的对边分别为，．（1）求角；（2）是边上的点，若，，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得，由此可得；（2）设；在和分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于的方程，解方程可求得结果.【小问1详解】由得：，由正弦定理得：，，又，，；有意义，，，即，又，.【小问2详解】，，设，则，在中，由正弦定理得：，即；在中，由余弦定理得：；，解得：，即，又，.21. 已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.（1）证明：（2）若，，求的最大值.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】证明：设，由余弦定理知：，，由是外心知， 而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；【小问2详解】解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，设，则，因此，当且仅当时取到等号，因此的最大值为.22. 已知函数，.（1）若，求的最小值；（2）若有且只有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值为；    （2）.【解析】【分析】（1）代入，求出，根据的范围可得在上恒成立，即可求出最小值；（2）显然，则原题可转化为在区间上有且只有1个零点．求出导函数，进而二次求导可得在区间上单调递增.推理得到当时，在上零点，根据导函数得到函数的单调性，结合零点的存在定理可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，则.  当时，，所以，所以.又，所以，所以恒成立，所以在区间上单调递增，所以的最小值为.小问2详解】解：由已知可得，则在区间上有且只有1个零点．，令，.则，因为在区间上恒成立，所以在区间上单调递增.所以，当时，有最小值；当时，有最大值.当时，有，则恒成立，则在区间上单调递增，所以.又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，有恒成立，则在区间上单调递减，所以.又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，有，.又在区间上单调递增，根据零点的存在定理可得，，使得.当时，，单调递减：当时，，单调递增.又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，解得.又，所以.综上，实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：根据函数零点的个数求解参数的取值范围：先观察看函数是否已存在零点，然后根据导函数研究函数的单调性，结合零点的存在定理，即可得到参数的取值范围.