2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知平面向量，，则向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量坐标的线性运算法则可得出的坐标.

【详解】，，，

故选D.

【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，解题的关键就是利用平面向量坐标的运算律，考查计算能力，属于基础题.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算规则以及共轭复数的定义即可.

【详解】， ；

故选：A.

3．已知中，，则c=（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出.

【详解】因为，所以，

由正弦定理可得，

故选：C.

4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是

A．6 B． C． D．12

【答案】D

【详解】由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，，故选D.

5．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么

A． B．1 C． D．4

【答案】C

【详解】由题意，，所以，故选C．

点睛：向量的数量积的性质之一：，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数量积）计算．

6．在中，分别是角的对边，若，则角等于（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】由余弦定理化简后求解

【详解】，又余弦定理得

故

故选：C

7．若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先求，再用复数的乘除运算法则进行计算，从而得到复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】，所以，故复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.

故选：C

8．已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥的母线长为5，高为4，求得圆锥的底面半径，然后由圆锥的表面积公式求解.

【详解】因为圆锥的母线长为5，高为4，

所以圆锥的底面半径为3，

所以圆锥的表面积为．

故选：C

9．如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.

【详解】

.

故选：A

10．已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（    ）

A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）

【答案】C

【分析】用向量的坐标运算求解即可.

【详解】设的起点坐标为，

的终点坐标为（3，-6），

，

又，

，解得，

的起点坐标为，

故选：C.

11．在中，角所对的边分别为，向量，若，则内角A的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小.

【详解】由于，所以，

由正弦定理得，

，

，

由于，

所以，

所以三角形的内角为锐角，所以.

故选：D

12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（    ）

（1）与平行        （2）与是异面直线

（3）与是异面直线    （4）与是异面直线

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判断（1）与（2）；由异面直线的定义判断（3）与（4）．

【详解】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，

由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故（1）错误；

与平行，故（2）错误；

平面，平面，平面，，

由异面直线定义可得，与是异面直线，故（3）正确；

平面，平面，平面，，

由异面直线定义可得，与是异面直线，故（4）正确．

所以正确的个数是2个.

故选：B．

二、填空题

13．已知平面向量，，若，则___________.

【答案】32##1.5

【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】由，得，即，解得.

故答案为：

14．如图，是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

【答案】

【分析】取的中点，连接，根据题意得出为异面直线与所成的角，利用余弦定理求值即可.

【详解】取的中点，连接，

因为分别为的中点，所以,

所以四边形为平行四边形，所以，

所以为异面直线与所成的角.

设正方体的棱长为2，则，

，

所以根据余弦定理，得.

故答案为：.

15．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______.

【答案】.

【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解.

【详解】解：由题意画出示意图，如图：

可得，，，

则，

在中，由正弦定理得，即，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.

16．已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________．

【答案】

【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.

【详解】由，解得．．解得．

，解得．

故答案为:．

三、解答题

17．当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

【答案】(1)或

(2)且

(3)

【分析】由复数的概念列出方程求出的值.

【详解】（1）当，即或时，复数为实数；

（2）当，即且时，复数为虚数；

（3）当，解得

所以当时，复数为纯虚数.

18．已知，求分别在下列条件下的值.

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；

（2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；

（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解

【详解】（1）

（2）因为，所以.

（3）因为，所以与的夹角为或，

所以.

19．在中，角所对的边分别为.已知.

（1）求的值；

（2）求的面积.

【答案】

（1）；（2）

【分析】（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；

（2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

【详解】（1） ，由余弦定理可得

,

,

（2）.

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

20．如图，棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.求证：面.

【答案】证明见解析

【分析】连接交于，连接,先证明，再证明面.

【详解】 .

连接交于，连接

四边形为平行四边形，

为的中点.

为中点,.

又面，面，

面.

【点睛】本题主要考查空间直线平面平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21．在中，角、、所对的边分别为、、，已知．

(1)求角的值；

(2)若外接圆的半径，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值．

【详解】（1）解：由及正弦定理可得，

即，

因为，则，所以，，则，

，因此，.

（2）解：由正弦定理可得，

由余弦定理可得，即，

当且仅当时，等号成立，

故面积的最大值为.

22．已知向量，且，求：

（1）及；

（2）若的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）， （2）.

【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；

（2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，向量，

可得，

又由

所以.

（2）由（1）可得，

即，

令，所以，

对称轴为，

若，则，不符合题意；

若，则，解得（舍去）；

若，则，解得，

综上可得：.