2021-2022学年河南省漯河市第四高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省漯河市第四高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，且，则a=（    ）

A．1 B．-1 C．±1 D．0

【答案】B

【分析】代入求值，再由集合的互异性验证即可求解.

【详解】由题意可得或，

解得或，

当时，，不满足集合的互异性，舍去；

当时，，满足题意，

故选：B

2．设集合，，且，则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，进一步得出答案.

【详解】由题得，

因为，且，

所以实数的取值集合为.

故选：A.

3．命题“∃x∈R，使x2+x-1=0”的否定是（    ）

A．∃x∈R，使x2+x-1≠0 B．不存在x∈R，使x2+x-1≠0

C．∀x∈R，使x2+x-1=0 D．∀x∈R，使x2+x-1≠0

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

注意到要否定结论，所以命题“∃x∈R，使x2+x-1=0”的否定是∀x∈R，使x2+x-1≠0

所以D选项正确.

故选：D

4．已知不等式的解集是，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三个“二次”的关系即得.

【详解】的解集是，

和是方程的解.

由根与系数的关系知，解得.

故选：D.

5．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）

A．32 B．4 C．5 D．31

【答案】D

【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数.

【详解】∵

∴为12的正约数，又，

∴ ，4，3，2，0

∴集合，

∴ 集合A的真子集个数为31，

故选：D.

6．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系

【详解】对于集合M：，k∈Z，

对于集合N：，k∈Z，

∵2k+1是奇数集，k+2是整数集

∴

故选：B

7．设集合.，那么“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分性、必要性的定义，结合集合的交集定义进行求解即可

【详解】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，

当成立时，根据集合的交集定义可知：且，

故“且”是“”的充分必要条件，

故选：C

8．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】原不等式在内有解等价于在内有解， 等价于，再根据二次函数的性质即可求出结果.

【详解】原不等式在内有解等价于在内有解，

设函数，

所以原问题等价于

又当时，，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查函数与方程思想和等价化归与转化思想．属于基础题．

二、多选题

9．设，，若，则实数的值可以是（　　）

A．0 B． C． D．2

【答案】ABC

【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.

【详解】由题意，，因为，所以，

若，则，满足题意；

若，则，因为，所以或，则或.

综上：或或.

故选：ABC.

10．已知函数，则该函数（    ）

A．最小值为5 B．最大值为－3 C．没有最大值 D．没有最小值

【答案】BD

【分析】根据双勾函数的图像与性质即可判断.

【详解】双勾函数在(－∞，－2)单调递增，在(－2,0)单调递减，

故函数在(－∞，－2)单调递增，在(－2，0)单调递减，

所以函数有最大值，无最小值

故选：BD.

11．已知均为实数，下列不等关系不正确的是（   ）

A．若 ，则  B．若 ，则

C．若 ，则  D．若 ，则 .

【答案】ABC

【分析】举反例可判断，采用作差法可判断C，利用不等式性质可判断D，即得答案.

【详解】因为，故可取 ，则，A错误；

若，取，而，B错误；

若，即，则，C错误；

若，则 ，故，所以，D正确，

故选：

12．设，且，那么（    ）

A．有最小值

B．有最大值

C．ab有最大值.

D．ab有最小值.

【答案】AD

【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.

【详解】，，

，当时取等号，

，解得，

，

有最小值；

，当时取等号，

，

，

，解得，即，

有最小值．

故选：AD

三、填空题

13．不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

【详解】不等式可化为，

则解集为.

故答案为：

14．已知是实常数，若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】先根据充分条件判断出命题对应范围之间的关系，由此求解出的取值范围.

【详解】因为是的充分条件，所以对应的取值集合是对应的取值集合的子集，

命题对应的取值集合是，

命题对应的取值集合为，

所以，所以，

故答案为：.

15．设正数，，当取最小值时，的值为___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式求题设代数式的最小值，确定等号成立时条件，即可知的值.

【详解】∵，当且仅当时等号成立，

∴，当且仅当时等号成立.

∴题设代数式取最小值时，的值为.

故答案为：

16．若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为_______.

【答案】

【分析】先验证m=0时符合题意；在m≠0时，利用二次函数的图象得到不等式恒成立的条件，解得m的取值范围.综合得到m的取值范围.

【详解】当m=0时不等式为,显然对于任意实数x恒成立；

当m≠0时，不等式对任意实数x恒成立等价于,

解得,

所以m的取值范围是,

故答案为：.

四、解答题

17．（1）求不等式解集：；

（2）设，求函数的最小值．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）移项，通分化简，将不等式转化为一边是分式，另一边是0的不等式，然后得到不等式的解集；

（2）由已知可得.将给定函数分离常数，并改写为，对利用基本不等式求最值，然后得到原函数的最小值.

【详解】（1）∵，

∴

解可得，或，

不等式的解集为或

（2），∴，

∴

，

当且仅当即时取等号，即最小值.

【点睛】本题考查分式不等式的求解，和利用基本不等式二次分式型函数的最值，属基础题. 利用基本不等式求最值时，要注意检验等号能否取得，若不能取得，需要使用对勾函数的性质求解.

18．设集合．

(1)若，求实数a的值；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2){a|a≤-3或a＞}

【分析】（1）由可得，可得是方程的实数根，代入求解即可；

（2）由可得，分和进行讨论即可得解.

【详解】（1）（1）集合，

若，则是方程的实数根，

可得：，解得或；经检验符合题意

（2）（2）∵，∴，

当时，方程无实数根，

即   解得：或；

当时，方程有实数根，

若只有一个实数根，或，

解得：，

若只有两个实数根，x=1、x=2，，无解.

综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}.

19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（2）由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

20．已知关于的不等式的解集为.

(1)求，的值；

(2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且求解；

（2）由（1）得到，再利用“1”的变换，结合一元二次不等式的解法求解.

【详解】（1）解：不等式的解集为或，

1和b是方程的两个实数根且，

，

；

（2）由（1）知且，

，

，

当且仅当，即时，等号成立，

.

依题意：当，，恒成立，

，即，

，

，

k的取值范围为.

21．解答下列各题.

（1）设，，，求.

（2）设且恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立.

（2）首先分离常数，然后结合基本不等式求得的取值范围.

【详解】（1）∵，，，

∴

，

，

当且仅当时取等号.

（2）∵，

∴，

由恒成立，得

，

又，

∴，，

则.

当且仅当，即时上式等号成立.

∴.

∴的取值范围是：.

22．关于的不等式：

(1)当时，解关于的不等式；

(2)当时，解关于的不等式.

【答案】(1)或；

(2)答案见解析.

【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）分，，，，五种情况解一元二次不等式即可求解.

【详解】（1）当时，原不等式化为，

方程的实数根为，，

所以原不等式的解集为或.

（2），

当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；

当时，

方程即的根为，，

且，

当或时，；当时，；当时，；

所以当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集，

当时，原不等式的解集为，

综上所述：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.