2021-2022学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．若，化简：________.

【答案】

【解析】利用指数幂的运算法则计算即可．

【详解】

故答案为：

2．已知扇形的弧长为，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是______．

【答案】

【分析】由弧长的计算公式代入即可得出答案.

【详解】此扇形的圆心角的弧度数是.

故答案为：.

3．在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要_____年．

【答案】33

【分析】设需要年，则，由对数函数的性质解不等式即可.

【详解】设需要年，则，所以，

故需要33年．

故答案为：33

4．已知，，用a及b表示______．

【答案】

【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．

【详解】因为，所以，所以．

故答案为：．

5．若幂函数（m为整数）的定义域为，则______．

【答案】，，

【分析】利用幂函数的单调性可以得出，求解即可得到答案.

【详解】因为的定义域为

所以，

解得，

又为整数，

所以．

故答案为：，，.

6．不等式的解集是______．

【答案】

【分析】构造函数，根据函数的单调性即可求出解集.

【详解】令，显然为严格增函数，

又，

故解集为．

故答案为：

7．用集合符号填空：______ Q．

【答案】

【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案.

【详解】当时，，

当时,包含无理数，

故，

故答案为：.

8．设为实数，函数是奇函数，则__．

【答案】

【分析】根据可求，再由时可求解.

【详解】因为是奇函数，所以，所以.

当时，．

故答案为:.

9．实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是______．

【答案】

【分析】先求出的值，再转化为对一切实数恒成立进行处理即可.

【详解】因为实数，满足，

所以，得，，

因为不等式的解为一切实数为真命题，

所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，

所以△，解得，

所以实数的取值范围为．

故答案为：

10．已知是定义在上的函数且图像关于y轴对称，在区间上是严格增函数，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】由题意可知的图像关于对称，且在上严格递减，在上是严格递增，所以与对称轴距离小的函数值小，依题意列出不等式求解.

【详解】因为的图像关于轴对称，所以的图像关于对称，

又在区间上是严格增函数，

所以在上严格递减，

由得，

所以，解得，所以原不等式的解集为．

故答案为：

11．设函数满足：对任意的非零实数x，均有．则在区间上的最大值为______．

【答案】

【分析】原式当中代入，可解出，，从而写出表达式，结合基本不等式可求出最大值.

【详解】因为对任意非零实数，均有，

所以，解得，

所以，解得，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

即在上的最大值为．

故答案为：

12．给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______.

【答案】29970

【详解】由，

则可知所有元素之和为.

故答案为：29970.

二、单选题

13．设，“是偶数”是“n是偶数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.

【详解】是偶数等价于n是偶数，故为充要条件，

故选:C．

14．以下说法为真命题的个数是（    ）

①当时，总有，则函数在区间上是严格增函数；

②当且时，总有，则是的最小值；

③如果在区间上的图像是一段连续不断的曲线，如果，则函数在上没有零点．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】②可根据任意性可判断，①和③可根据举例来判断.

【详解】对于①，当时， ，但不满足在上单调递增，故①错误；

对于②，对任意且时，总有，才能得是的最小值；故②错误；

对于③，,则满足，但，故在上有零点，故③错误.

故选：A.

15．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.

【详解】由得的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，，排除C，所以B选项符合.

故选：B

【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.

16．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

三、解答题

17．已知全集为，集合，．

(1)若，求，；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集的定义逐一计算即可；

（2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果.

【详解】（1）集合，

当时，．

所以，或，．

（2）因为，

当时，，成立；

当时，，，解得：，

综上，，所以实数的取值范围是．

18．若正数x，y满足x+3y=5xy，求：

（1）3x+4y的最小值；

（2）求xy的最小值．

【答案】（1）3x+4y的最小值为5．（2）xy的最小值为．

【详解】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．

（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．

解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．

∴

∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．

∴3x+4y的最小值为1．

当且仅当x=1，y=时取等号．

∴3x+4y的最小值为5．

（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，

∴5xy≥，

解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．

∴xy的最小值为．

【解析】基本不等式．

19．某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为．（为参数，且）.

（1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型

（2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．

【答案】（1）；（2）当甲产品投入万元，乙产品投入万元时，总利润最大为万元

【分析】（1）根据题意,将数据分别代入甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型中,解方程组,即可求出函数表达式.

（2）根据题意,设对乙种产品投资,对甲种产品投资,代入两个利润公式,利用换元法求出函数的值域,然后求最大值即可.

【详解】解：（1）由甲的数据表结合模型代入两点可得

代入有

得,

即

由乙的数据图结合模型代入三个点可得,,可得

,

得,,

即

（2）根据题意,对乙种产品投资（万元）,对甲种产品投资（万元）,

那么总利润,

由,解得,

所以,

令,,故,

则,

所以当时,即时,,

答：当甲产品投入万元,乙产品投入万元时,总利润最大为万元

【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的应用,利用函数模型求出解析式,根据换元法换成二次函数求极值.

20．已知函数．

(1)若关于x的方程有两个不等根，，求的值；

(2)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)是否存在实数，使得对任意，关于x的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数a与的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)非奇非偶函数，理由见解析

(3)存在，实数的取值范围为，的范围为

【分析】（1）化简函数，建立方程直接运算即可

（2）根据奇偶函数的定义判断即可

（3）利用换元法将方程转化为二次函数问题，再根据根的情况列出不等式组求解

【详解】（1），

因为关于的方程有两个不等的实数根、，

所以，，所以，即，

所以；

（2），

由得，显然定义域不关于原点对称，

故是非奇非偶函数；

（3）因为在上严格减，在上严格增，

又，，，

令，则当时，方程有两个不等实数根，

由（1）得两个根之积为1，

当时，方程有且仅有一个根且此根在区间内或1，

令，

所以原题目等价于，对任意，关于的方程在区间上总

有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，

则必有，则，解得，

此时，则其根，所以，

综上，实数的取值范围为，的范围为.

21．已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数．

(1)试判断函数是否是函数在上的限定函数；

(2)设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数；

(3)设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由．

【答案】(1)是，证明见解析

(2)证明见解析

(3)函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是，理由见解析.

【分析】（1）根据限制函数的定义，即可得出结论；

（2）对任意的，上恒为负值，所以，，根据限制函数的定义，推出，进而证出函数的单调性；

（3）设，通过化简得，得到，然后推出，由，可得增区间，由，可得减区间．

【详解】（1）解：对任意，

因为，

所以在上的限制函数为．

（2）证明：对任意的上恒为负值，所以，，

由于或成立，

所以，不妨设，则，

所以在上是严格减函数；

（3）解：设，

则，

所以，即，

由，解得，

因而当，，严格减，

即的严格增区间是．

当时，，严格增，

即的严格减区间是．

故函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是.