2021-2022学年上海市南洋模范中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市南洋模范中学高一下学期开学考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市南洋模范中学高一下学期开学考试数学试题 一、填空题1．已知集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，则A∪B=_________.【答案】【解析】直接利用并集的运算求解.【详解】因为集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，所以A∪B={x|-2<x<3}，故答案为：2．函数的定义域是___________【答案】（-1，1）【分析】解不等式即得函数的定义域.【详解】由题得，所以.所以函数的定义域为（-1，1）.故答案为：（-1，1）【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．化简__．【答案】【分析】依据诱导公式对原式进行化简计算.【详解】．故答案为：.4．设，其中，若，则__．【答案】1【分析】直接代入，结合诱导公式即可得到答案.【详解】，即，则．故答案为：1.5．若，则__．【答案】1或【分析】运用倍角公式计算.【详解】由题意 ，所以或，所以或；故答案为：1或 .6．若不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围是_____．【答案】[﹣1，]【详解】因为 ，所以 ，因此 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．7．设为实数，函数是奇函数，则__．【答案】【分析】根据可求，再由时可求解.【详解】因为是奇函数，所以，所以.当时，．故答案为:.8．已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】【解析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：故答案为：【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．9．对任意实数的最小值为____．【答案】4【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件。【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当且仅当且，即或且时，等号成立，因为当时，，当且仅当，即时，等号成立，当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，当且仅当且，即或且时，等号成立，综上：，当且仅当或且时，等号成立，所以所求最小值为4．故答案为：4.10．将写成一个关于的一元二次式和一个关于的一元二次式的乘积，则可表示为__．【答案】【分析】，根据平方差公式及即可求解.【详解】．故答案为:.11．设函数满足，且在上的值域为，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】利用换元法，可得，然后采用等价转换的方法，可得在的值域为，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】由令，所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为，且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.12．设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________【答案】【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.【详解】解：设是在点处的切线，因为曲线与函数的图像关于直线 对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为， 所以的方程为故联立方程得，即，所以，解得所以的取值范围为故答案为：. 二、单选题13．若，，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】A【分析】由，然后利用绝对值三角不等式可得出正确选项.【详解】由绝对值三角不等式可得，故选A.【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，解题的关键就是将所求代数式利用已知的代数式加以表示，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】解方程，根据充分条件和必要条件的定义可得出结论.【详解】由可得或，因为“”“或”，“”“或”因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.15．扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（    ）A．1050cm2 B．840cm2 C．630cm2 D．210cm2【答案】A【分析】首先，由条件可知，再列出关于弧长的公式，利用扇形面积求解.【详解】设外环圆的半径为，内环圆的半径为，圆心角为，则，，，则，所以该扇面的面积（cm2）.故选：A16．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用辅助角公式计算.【详解】 ，所以 ，；故选：C． 三、解答题17．设是第三象限角，问是否存在实数，使得、是关于的方程的两个根？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.【答案】不存在，理由见解析【解析】由是第三象限角，得出，，列出韦达定理，结合以及进行求解，可得出满足条件的实数不存在，进而得出结论.【详解】倘若存在实数满足条件，由题设得，，①由是第三象限角，得出，，，②，，③又，.把②③代入上式得，即，解得，.不满足条件①，舍去；不满足条件③，舍去.故满足题意的实数不存在.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求参数，在涉及的相关计算时，一般利用平方关系来计算，考查计算能力，属于中等题.18．已知，，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；（2）先根据，，求出，再根据求解即可.【详解】（1）∵且，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，，所以.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.19．已知函数；（1）当时，求该函数的定义域和值域；（2）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）定义域，值域；（2）．【分析】（1）代入的值，结合对数函数的性质，解不等式，求出函数的定义域，根据函数的单调性求出函数的值域即可；（2）问题转化为在，上恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】（1）当时，，令，解得，所以函数的定义域为，令，则，所以，因此函数的值域为，；（2）如果在区间，上恒成立，即在，上恒成立，即在，上恒成立，令，，显然在，递减，（3），故．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.20．已知函数，的图像为曲线，两端点、，点为线段上一点，其中，，，点、均在曲线上，且点的横坐标等于，点的纵坐标为.（1）设，，，求点、的坐标；（2）设，，求的面积的最大值及相应的值；（3）设，，求证：点始终在点的上方.【答案】（1），；（2），；（3）见解析【分析】(1)由题意可得,再计算对应的横纵坐标即可.(2)根据题意求得的面积表达式,再利用基本不等式求解即可.(3)根据凸函数的性质可得.【详解】(1)设则,,,,,,所以,.(2)当,时,,,故,,所以.因为.当且仅当时取等号.令,.因为在上为增函数,故当时,取最大值.此时(3) 设,,因为为上的凸函数,所以根据凸函数的性质得,故点始终在点的上方.【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,同时也考查了基本不等式与函数的运用.需要根据题意列出对应的关系式,再化简运用即可.属于难题.21．已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问：(1)当，时，验证是否为一对“太极函救”；(2)若为一对“太极函数”，求的值；(3)已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）．【答案】(1)不是一对“太极函救”(2)(3)时，，时，． 【分析】（1）根据新定义检验；（2）利用新定义计算求解；（3）设，由新定义得关于的方程无实根，记，由二次函数性质求得的范围，由可得的范围．【详解】（1）若是否为一对“太极函救”，由，得，所以，不是的零点，所以不是一对太极函救；（2）设为方程的一个根，即，由题设，所以；（3）因为，由，得，所以，，由得或，易得，据题意，的零点均为的零点，故无实数根，设，则无实根，记时，，，，即时，，解得，，即时，，．综上，时，，时，．【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第（3）小问的范围问题，解题关键是引入变量，利用新定义确定关于的方程无实根，记，只要即可得结论．