2022-2023学年安徽省安庆市岳西县汤池中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省安庆市岳西县汤池中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式（二）、特殊角的三角函数值，需熟记公式，属于基础题.

2．设命题：，，则的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】利用特称命题的否定可得出结论.

【详解】命题为特称命题，该命题的否定为：，.

故选：D.

3．函数的零点所在的区间是（　　）

A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）

【答案】C

【分析】先判断函数在定义域上连续递增，再求端点函数值即可．

【详解】函数在定义域上连续递增，

； .

故函数的零点所在的区间是.

故选C．

【点睛】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．

4．下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来.

【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；是偶函数，当时，在上是增函数；在上是减函数.只有选项C满足条件.

故选：C.

5．已知的图象经过点，则的图象大致为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件先求解出的值，然后将的值代入幂函数中分析幂函数奇偶性和单调情况，由此判断出幂函数的图象.

【详解】因为经过，所以，所以，

所以幂函数为，显然为奇函数，排除A、C：

又因为在时，增长趋势比快速，所以排除D.

故选：B．

6．如果关于的不等式的解集是，那么等于（    ）

A．-81 B．81 C．-64 D．64

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.

【详解】不等式可化为，

其解集是，

那么，由根与系数的关系得，

解得，

，故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系以及知识幂的运算，属于简单题.

7．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时的速度减少，经过小时后他血液中的酒精含量在以下，则的最小整数值为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意解不等式，即可得解.

【详解】根据题意可得，

所以，

由于经过小时后他血液中的酒精含量在以下，

所以，

故选：B

8．已知函数，且函数的图像与的图像关于对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的对称性求出以及的解析式即可求解.

【详解】由函数，则关于对称的函数，

关于轴对称的函数，

，

，

，

所以.

故选：D

二、多选题

9．下面选项中正确的有（    ）

A．函数的最小值为2

B．命题“,”的否定是“，”

C．“”是“”的充要条件

D．设,则“”是“”的必要不充分条件

【答案】BD

【分析】对于A,举出反例即可进行判断;对于B,根据全称命题的否定是特称命题即可判断真假;对于C,根据或可判断C的真假;对于D,根据充分条件和必要条件的定义即可判断真假.

【详解】对于A,当时,,故A错误;

对于B,全称命题的否定是特称命题,则命题“,”的否定是“,”,故B正确;

对于C,或,则“”是“”的充分不必要条件,故C错误;

对于D,当时,;当时,则,所以“”是“”的必要不充分条件,故D正确.

故选:BD.

10．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用对数函数的单调性得到，然后利用不等式的基本性质判断A；利用特殊值判断B；利用指数函数和幂函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D即可.

【详解】因为，

所以，

所以，故选项A正确；

当时，，故选项B错误；

又，故选项C错误；

由指数函数和幂函数的单调性得，故选项D正确.

故选；AD.

11．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论中不正确的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据对数函数的定义域以及二次不等式求解，集合表示，利用集合运算，可得答案.

【详解】由函数，则，解得，即，

由不等式，，解得或，即，

显然，故A错误；，，故B正确；

显然，故C错误；由B可知，D错误.

故选：ACD.

12．已知函数是R上的奇函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C．是增函数 D．

【答案】ACD

【解析】由是R上的奇函数，则可算出，代入可算得

根据的对称性可得出单调性，根据可求得

【详解】A.项  是R上的奇函数，故

得，故A对

对于B项，，故B错

对于C 项，当时，在上为增函数，利用奇函数的对称性可知，在上为增函数，故是上的增函数，故C对

，故D对

故选：ACD

【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

三、填空题

13．扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积为___________．

【答案】

【分析】利用扇形面积公式即可得解.

【详解】因为扇形的圆心角为，转化为弧度为，

所以该扇形的面积为.

故答案为：.

14．已知正实数满足，则的最大值为____．

【答案】；

【详解】由均值不等式的结论有： ，解得： ，

当且仅当 时等号成立，即的最大值为.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

15．已知，，则____________．（用含的式子做答）

【答案】

【分析】通过对数运算与换底公式化简，即可得出答案.

【详解】，，

，

故答案为：.

四、双空题

16．已知幂函数过点，若恒成立，则__________；实数的取值范围是__________．

【答案】     1    

【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据函数的单调性与奇偶性得到，解之即可求得的取值范围．

【详解】因为幂函数过点，

所以，故，

所以，易得其定义域为，关于原点对称，且在上单调递增，

又，故是奇函数，

因为，所以，

则，解得，

所以；.

故答案为：；．

五、解答题

17．已知全集为，函数的定义域为集合，集合或．

(1)求；

(2)若，，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据函数的性质先计算出集合，再利用交集的定义即可求解；

(2)根据条件得到，再讨论和两种情况，计算即可求解.

【详解】（1）要使函数有意义，则有，解得：，

即集合，由集合或，

所以.

（2）因为，所以，也即，

当时，则有，解得：；

当时，则有解得：，

综上所述：实数的取值范围是.

18．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.

(1)现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的递增区间和递减区间；

(2)求函数的解析式.

【答案】(1)图象见解析；增区间为，，减区间为

(2)

【分析】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象，根据图像求出单调区间；

（2）利用换元法求出解析式.

【详解】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，补全函数的图象，如图，

结合图象可得函数的增区间为，；减区间为；

（2）（2）当时，，

所以；

又因为f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，

∴

所以.

19．（1）已知，求的值，

（2）分别计算和的值，你有什么发现，对于，和又有什么关系，请给出证明．

【答案】（1）；（2）=；，；证明见解析.

【分析】（1）分子分母同时除以，代入数据即可算出答案；

（2）直接代入的三角函数值即可求得函数值，进而得出其关系，然后利用平方差公式和同角的基本关系即可得到证明.

【详解】（1），

因为，所以，，

（2），

，

，

所以.

20．已知函数的图象过点.

（1）求与的值；

（2）求时，的最大值与最小值.

【答案】（1），；（2）最小值为，最大值为.

【分析】（1）直接将图象所过的点代入解析式，得出，解出，即可；

（2）根据函数单调递增，利用单调性求其最值即可.

【详解】（1）由已知可得点在函数图像上.

∴∴，又不符合题意

∴.

（2）由（1）可得

∵∴在其定义域上是增函数.

∴在区间上单调递增，

所以最小值为，最大值为.

【点睛】本题主要考查了指数型函数的图象和性质，涉及运用单调性求函数的最值，属于基础题.

21．运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制(单位千米/时，假设汽油价格是每升元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元.

（1）求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；

（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.

【答案】（1）；（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.

【解析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值.

【详解】解：（1）行车所用时间，根据汽油的价格是每升元

而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元

可得行车总费用为

（2）

当且仅当

即时，等号成立

所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.

【点睛】本题考查函数的应用，属于中档题.

方法点睛：（1）首先计算行车所用时间；

（2）行车总费用包含汽车的费用和司机的费用；

（3）行车总费用为行车时间乘以每小时耗油量乘以汽油的价格；

（4）司机的费用为司机每小时的价格乘以时间.求和即可.

22．已知函数（且）．

（1）当时，解不等式；

（2），，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足题意的实数，，理由见解析．

【分析】（1）把代入，然后结合对数函数的单调性即可求解不等式；

（2）由已知不等式恒成立转化为最值成立，结合复合函数的单调性即可求解；

（3）结合对数函数单调性代入后，结合已知等式特点构造函数，结合二次函数性质可求．

【详解】（1）时，，

所以，解得

即函数定义域为，因为，即，所以，

即，解得或，又，所以不等式的解集为．

（2），，即成立，又

函数在上为增函数，

①若，则，所以，即，

则，解得或．又，所以．

②若，则，所以，即，

则，解得，又，所以．

综上的取值范围为．

（3）假设存在，满足题意，由（2）知，所以在上是减函数，则，

所以，即，是方程的大于的两个不等实根，

设，其对称轴为，由题意得

所以或，又，所以．

综上，不存在满足题意的实数，．