2022-2023学年福建省莆田第五中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省莆田第五中学高一上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田第五中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B，然后求出即可【详解】因为 所以 所以故选：D.2．函数的零点所在区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案【详解】由在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减，又，所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，故选：B.4．已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果.【详解】根据指数函数的单调性知，即；，即；根据对数函数的单调性知，故，所以.故选：D5．若，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题意，令，则，，， 所以.故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方程，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．12 D．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所以，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,所以,设,因为函数是增函数,所以要使在上是增函数,则需函数是减函数,可得,所以,实数的取值范围为.故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得的值.【详解】因为，所以，，且，由题意可得，所以，，故函数为周期函数，且周期为，所以，.故选：B. 二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解.【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限，所以，如果，所以，所以选项A不满足题意；；；，故CD正确.故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.【详解】若命题:，成立，则，解得，故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A：显然，，对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”；选项B：显然，，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；选项C：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；选项D：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”.故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（    ）A．的定义域为 B．有一个零点C．的图像关于原点对称 D．的值域为【答案】AC【分析】对于A：由得出定义域；对于B：由，便可求出零点；对于C：先化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域.【详解】对于A：由题意可知，函数有意义，则满足,解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A正确；对于B：因为的定义域为，所以，由得，解得（舍），即没有零点，所以选项B不正确；对于C：由上可知，则满足，所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C正确；对于D：当时，，所以，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项D不正确.故选：AC 三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是______.【答案】【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.【详解】是偶函数，，∴不等式等价为，在区间单调递增，，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.【详解】解：因为，所以，则.因为，所以，所以，所以.故答案为：.15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是__________【答案】【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围.【详解】解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，①当时，，此时，，解得，②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想. 四、解答题17．化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)4. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）；（2）.18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且.(1)求实数的值；(2)若，求的值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值.（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得，所以，整理得，解得或.（2）因为，所以由（1）可得，所以，所以.19．设函数，图象的一个对称中心是.（1）求；（2）求函数的单调增区间.【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；（2）由（1）得到，令，，解出x写成区间形式即可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，所以，则，所以所以，则，（2）由（1），令，，即：，，所以函数的单调增区间为：.20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【答案】(1)466个单位(2)3倍 【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.【详解】（1）将，代入函数，得：，因为，所以，所以，所以.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：两式相减可得：，所以，即，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．(1)当时，试判断单调性并加以证明．(2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围．（提示：（其中且））【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可；（2）由的奇偶性以及单调性得出，，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m的取值范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，则由得，，，即.即函数在上单调递增.（2），即为偶函数.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增.又，，所以.令，则存在，使得成立，即成立.令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.故，所以.22．已知函数.(1)若对于任意恒成立，求的取值范围；(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，令， ，研究函数，，根据二次函数的单调性对m进行分类讨论，即可求出m.【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立代入可得所以对于任意恒成立令因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.即实数a的范围为.（2）由，，且代入化简可得.令，因为，所以则，①当，即时，在上为增函数，所以，解得，不合题意，舍去②当，即时，在上为减函数，在上为增函数，所以，解得，所以③当，即时，在上为减函数，所以解得不合题意，舍去， 综上可知，.【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.