2022-2023学年福建省永定第一中学高一下学期开学摸底数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年福建省永定第一中学高一下学期开学摸底数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省永定第一中学高一下学期开学摸底考试数学试题 一、单选题1.给出下列6个关系:①,②,③,④,⑤,⑥.其中正确命题的个数为( )A.4 B.2 C.3 D.5【答案】A【分析】根据数的分类一一判断即可.【详解】为无理数,有理数和无理数统称为实数,所以,所以①正确;是无理数,所以,所以②错误;不是正整数,所以,所以③正确;,所以④正确;是无理数,所以,所以⑤正确;,所以⑥错误.故选:A.2.已知角α的终边经过点P(3,﹣4),则角α的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由题意可得 由题意可得x=3,y=﹣4,故 r5,利用任意角的三角函数的定义,求出结果.【详解】由题意可得x=3,y=﹣4,则r==5,则sinα==﹣,故选:C.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,熟记三角函数的定义是解题的关键.3.已知,,则y的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】由,得到,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】因为,所以,则,当且仅当,即时取等号,故选:D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件,合理运算是解得的关键,着重考查推理与运算能力.4.已知,,,则,,的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】利用指数函数,对数函数和幂函数的单调性比较判断.【详解】因为,所以,又, 所以故选:C5.函数,,满足,若,在有两个实根,则m的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由对称性求得的解析式,方法1:换元后画图研究交点个数可得m的范围;方法2:直接画的图象研究交点个数可得m的范围.【详解】∵ ,∴关于对称,∴,,解得:,,又∵ , ∴,∴方法1:, ,即:,,设, 则在有两个实根,即:在有两个交点,如图所示,当时,,∴ ,即:,故选:A.方法2:∵在有两个实根, ∴在有两个交点,如图所示,当时, ∴,即:即:,故选:A.6.渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上船后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t(分)满足的函数关系式为.若出水后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%.那么若不及时处理,打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知,结果取整数)( )A.33分钟 B.43分钟 C.50分钟 D.56分钟【答案】B【分析】由题意列出方程求出a的值,即可计算出结果.【详解】由题意知,,解得,所以,所以,即,故选:B7.函数,则关于函数性质说法正确的是( )A.周期为 B.在区间上单调递增C.对称中心为(k∈Z) D.其中一条对称轴为x=【答案】B【分析】化简函数,结合三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,函数,可得函数的最小正周期为,所以A不正确;由,可得,由余弦函数在上为单调递增函数,可得函数在区间为单调递增函数,所以B正确;令,解得,可得函数的对称中心为,所以C不正确;令,解得,可得不是函数的对称轴,所以D不正确.故选:B.8.如图,点,在函数的图象上,点在函数的图象上,若为等边三角形,且直线轴,设点的坐标为,则 A.2 B.3 C. D.【答案】D【分析】根据题意,设出、、的坐标,由线段轴,是等边三角形,得出、与的关系,求出、的值,计算出结果.【详解】根据题意,设,,,,,线段轴,是等边三角形,,,,;又,,;又,,;;,,故选:.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题,也考查了指数,对数的运算问题,属于中档题. 二、多选题9.下列化简正确的是 ( )A. B.C.= D.=【答案】BC【分析】将根式转化为分数指数幂,结合对数运算性质得到正确答案.【详解】,A错误;,B正确;,C正确;可得到,从而,D错误.故选:BC10.若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若,则xy,,且当 时,,则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是( )A.整数集是“紧密集合”B.实数集是“紧密集合”C.“紧密集合”可以是有限集D.若集合A是“紧密集合”,且x,,则【答案】BC【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.【详解】A选项:若,,而,故整数集不是“紧密集合”,A错误;B选项:根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;C选项:集合是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;D选项:集合是“紧密集合”,当,时,,D错误.故选:BC.【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义,从题意入手.11.下列说法正确的是( )A.命题“,”的否定是“,”B.若是第二象限角,则在第三象限C.已知扇形的面积为4,周长为10,则扇形的圆心角(正角)为的弧度数为D.若角的终边过点,则【答案】ABC【分析】根据含量词的命题否定,弧长,面积公式,诱导公式,任意角三角函数定义分别判断选项即可.【详解】对于:命题“,”的否定是“,”故正确;对于: 因为,又因为是第二象限角, , 所以,则在第三象限,故正确;对于:已知扇形的面积为4,周长为10,则或(舍)或者,故正确;对于:角的终边过点,当时,,故错误;故选:.12.已知函数是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2﹣x,若对于任意,都有,则实数a可以为( )A.3 B.2 C.1 D.0【答案】AB【分析】由已知结合函数的奇偶性可求,由函数的单调性定义分析可得,令,判断出在上单调递增,结合二次函数的性质分析可得a的取值范围.【详解】根据题意,f(x)+g(x)=ax2﹣x,则f(﹣x)+g(﹣x)=ax2+x,两式相加可得f(x)+f(﹣x)+g(x)+g(﹣x)=2ax2,又由f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,所以2g(x)=2ax2,即g(x)=ax2,若对于任意,都有,变形可得,令,则h(x)在区间上单调递增,若a=0,则h(x)=﹣4x在上单调递减,不满足题意;若,则h(x)=ax2﹣4x是对称轴为的二次函数,若h(x)在区间上单调递增,只需,解得,所以a的取值范围为,则a可以取值3,2.故选:AB 三、填空题13.若函数,则的值为_________.【答案】0【分析】结合对数运算及分段函数求值即可.【详解】根据题意,函数,则,则.故答案为:0.14.函数在区间上的最小值是______.【答案】##【分析】由题得,转化为求函数,的最小值得解.【详解】解:,设,所以,.二次函数抛物线的对称轴为,由于,.所以函数的最小值是.故答案为:15.若函数,在上恰有一个最大值点和两个零点,则实数的取值范围是________.【答案】【分析】首先根据和差角公式将函数化简,再由的取值范围求出的取值范围,再根据正弦函数的性质得到不等式组,解得即可.【详解】解:,即,由,所以,又在上恰有一个最大值点和两个零点,则,解得,所以的取值范围是.故答案为:.16.对于正整数,函数定义如下:对于实数,记方程的不同实数解的个数为,求使得函数的最大值为4的所有正整数的和为___________.【答案】【分析】根据指数函数及对数函数的性质结合函数的大致图象可得当时,方程至多有4个不同实数解,进而即得.【详解】因为当时,,所以当时,先减后增,方程至多有两个不同实数解;当时,单调递减,方程至多有一个实数解;当时,,所以当时,先减后增,方程至多有两个不同实数解;当时,单调递增,方程至多有一个实数解;所以当时,方程至多有4个不同实数解,又为正整数,所以使得函数的最大值为4的正整数可取3,4,5,6,7,8,所以,即使得函数的最大值为4的所有正整数的和为33.故答案为:33. 四、解答题17.已知集合.(1)求集合和;(2)求.【答案】(1),(2)【分析】(1)解不等式,可求得集合和;(2)先求出,再与集合取交集即可.【详解】(1)由题意,,.故集合,.(2),则或,故或.故.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的交集与补集的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.18.已知函数.(1)求的最小正周期(2)将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移个单位长度,得到函数图像,求的单减区间.【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式及辅助角公式化简函数解析式,再利用周期公式求得其最小正周期.(2)按照三角函数的变换规则求出的解析式,再结合正弦函数的单调性求单调区间.【详解】解:(1)(2)将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得,再将的图像向右平移个单位长度,得即,要求其单调递减区间,令.解得即的单调递减区间为【点睛】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,函数的图象变换规律,正弦函数的性质,属于中档题.19.已知函数().(1)若函数为奇函数,求的值;(2)判断函数在上的单调性,并证明.【答案】(1);(2)增函数,证明见详解【详解】(1)因为函数为奇函数,所以,因此;(2)函数在上单调递增,理由如下:设,因为,所以,因此,所以)函数在上单调递增.20.已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心;(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位后得到的图象,求函数在上的值域.【答案】(1),对称中心为,;(2) 【分析】(1)结合函数的部分图象即可求得,即可求得解析式及对称中心.(2)结合函数的伸缩偏移变换即可求得,结合三角函数的图象和性质即可求解值域.【详解】(1)根据函数,,的部分图象,可得,,.再由,,故有.根据图象可得,是的图象的一个对称中心,故函数的对称中心为,.(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的,可得的图象,再向右平移个单位,得到的图象,即,结合,可得,故当,时,取得最大值,即;当,时,取得最小值,即.故值域为.21.已知函数.(1)当,时,求满足的的值;(2)当时,若函数是定义在上的奇函数,函数满足①求及的表达式;②若对任意且,不等式恒成立,求实数的最大值.【答案】(1)(2)①,;② 【分析】(1)代入,得到,再因式分解求解即可;(2)①由定义在上的奇函数满足可得,进而得到及;②化简可得,令,再参变分离根据基本不等式求解范围即可【详解】(1)因为,时,,又因为,所以()所以,所以,即;(2)①因为是定义在上的奇函数,所以,,,所以所以,②由①可得,因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,令(),所以,又因为由对勾函数()的单调性可知,时有最小值,所以,所以,所以的最大值为.22.北京冬奥会已于月日开幕,“冬奥热”在国民中迅速升温,与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流,在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内(以天计)的销售情况进行调查发现:冰墩墩的日销售单价(元/套)与时间(被调查的一个月内的第天)的函数关系近似满足(常数),冰墩墩的日销量(套)与时间的部分数据如表所示:(套) 已知第天该商品日销售收入为元,现有以下三种函数模型供选择:①,②,③(1)选出你认为最合适的一种函数模型,来描述销售量与时间的关系,并说明理由;(2)根据你选择的模型,预估该商品的日销售收入(,)在哪天达到最低.【答案】(1)模型③最合适,理由见解析;(2)第天达到最低. 【分析】(1)结合表中数据及其增速较慢的特点,分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析,即可选出最合适的一种函数模型;(2)由表中数据和第天日销售收入,分别求出第(1)问中选择的模型和中的参数,代入,化简后使用基本不等式求解.【详解】(1)模型③最合适,理由如下:对于模型①,为指数型函数模型,表格中对应的数据递增的速度较慢,故模型①不合适;对于模型②,为二次函数模型,其图象关于直线对称,有,与表中数据不符,故模型②不合适;对于模型③,幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度,将表中数据,代入模型③,有,解得,∴,经验证,均满足表中数据,因此,使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.(2)∵第天冰墩墩的日销售单价(元/套),∴第天的日销售收入为(元),∴,∴,由(1)所选模型③,当且时,(元)当且仅当,即时,等号成立,∴在第天时,该商品的日销售收入达到最低元.
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