2022-2023学年广东省汕头市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省汕头市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
汕头市新一中中学2022-2023 学年度第一学期期中考试高一数学一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题 “，”的否定是（）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得出答案.【详解】根据题意，命题 “，”的否定是“，”，故选：A2. 集合，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合中元素满足的约束条件，化简集合，进而根据交集运算即可求解.【详解】，，所以，故选：B3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的图像性质即可逐项判断.【详解】函数在上单调递增，是偶函数，故A不符合题意；函数是非奇非偶函数，故B不符题意；是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；在上单调递增，是偶函数，故D不符题意.故选：.4（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果.【详解】由题意可得.故选B.【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.5. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性可得每一段上的单调性和分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果.【详解】是上的增函数，，解得：，即的取值范围为.故选：B.6. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.【详解】设幂函数为，因为该幂函数得图象经过点，所以，即，解得，即函数为，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A7. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，+∞），不等式恒成立，则不等式的解集为（）A.  B. 或C.  D. 或【答案】C【解析】【分析】由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得到，再根据f（x）在[ 0，+∞）上递减求解.【详解】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且，所以，又因为对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，+∞），不等式恒成立，所以f（x）在[ 0，+∞）上递减，所以，解得.故选：C8. 已知函数，若存在正实数k，得方程有三个互不相等的实根.则的取值围是（）A. （4，2+2） B. （4，6+2）C. （6，4+2） D. （8，6+2）【答案】D【解析】【分析】方程可化为，令，可求得的解析式，并做出图像，若方程有三个互不相等的实根，则函数与直线有3个交点，根据二次函数的图像与性质，即可求解.【详解】方程可化为，令，则，做出的图像，如图所示，由图可知，若方程有三个互不相等的实根，则函数与直线有3个交点，则．不妨设，．由二次函数图像关于直线对称可知，．令，得，所以，所以.故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 使不等式成立的充分不必要条件可以是（）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解得解集为，进而根据集合的包含关系即可判断.【详解】不等式解为，由于，，故使不等式成立的充分不必要条件可以是以及，是成立的充要条件，是成立必要不充分条件.故选：BC10. 下列各式比较大小，正确的是（）A. 1.72.5＞1.73 B. C. 1.70.3＞0.93.1 D. 【答案】BC【解析】【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，对于选项B：＝，∵函数y＝2x在R上单调递增，且，∴＝，故选项B正确，对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，∴，又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，∴，∴＜，故选项D错误，故选：BC．11. 下列命题正确的是（）A. y=与y= x不是同一个函数B. y=的值域为C. 函数的单调递减区间是D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为[1，4]【答案】ABD【解析】【分析】A. 由函数的定义判断；B.由指数函数的值域判断；C.由单调区间不能合并判断；D.利用抽象函数的定义域求解判断.【详解】A. 因为y=，所以与y= x不是同一个函数，故正确；B.因为，所以，即，所以的值域为，故正确；C.函数的单调递减区间是，故错误；D.因为函数的定义域为，所以，则，解得，函数的定义域为[1，4]，故正确故选：ABD12. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（）A.  B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.【详解】因为,恒成立,即恒成立,因为,所以当时,,则需,当时,,则需,故当时,,即,所以且,故选项A正确,选项B错误;所以,
 当且仅当时,即时取等,故选项C正确;因为,令,当且仅当，即时等号成立，故，所以,故,所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.故选:ACD【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:(1),;(2)柯西不等式:;(3)变换后再用基本不等式:.三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数，则______；若f（x）=4，则x=____________.【答案】    ①. 5    ②. - 3或2【解析】【分析】根据函数分别代入求得函数值，分和求解方程.【详解】解：因为函数，所以，当时，，解得；当时，，解得，综上：x=-3或2.故答案为：5，-3或214. 已知函数，若，则________【答案】【解析】分析】根据常见函数奇偶性，等量代换解决即可.【详解】由题知，函数，所以，所以，所以，故答案为：15. 在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为__．【答案】6【解析】【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论．【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．16. 在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k︱n∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ；③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是__________.【答案】①④【解析】【分析】根据给定的定义进行求解，确定被4除所得余数即可.【详解】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确；因为，所以，所以②不正确；因为a∈[1]，b∈[2]，设，，则，且，所以，所以③不正确；因为a∈[1]，b∈[3]，设，，则，且，所以，所以④正确.故答案为：①④四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是定义在R上的偶函数，当时， ；（1）求当时，的解析式（2）作出函数的大致图象，并根据图象直接写出函数的单调递减区间.【答案】（1）（2）图像见解析，【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解，（2）根据二次函数的图象特征，即可得的大致图象，结合图象即可求解单调区间.【小问1详解】当，则，所以，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以时，；【小问2详解】图象如下：函数的单调递减区间为.18. 已知函数，且.（1）求实数m的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）求函数在上的最值.【答案】（1）4（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）代入，求出实数m的值；（2）利用定义法求解函数的单调性，步骤为，取值，作差，判号，下结论；（3）在（2）求出的函数单调性基础上求解最值.【小问1详解】根据题意得：，解得：；【小问2详解】在上的单调递增；理由如下：设，则∵，故，，∴，∴f（x）在上的单调递增；【小问3详解】根据题意，由（2）可知，在上单调递增，故，，∴函数在上的值域为.19. 在①A∪B=B：②“ ”是“”的充分条件：③ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，}（1）当a =2时，求A∪B；（2）若________，求实数a的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简集合,然后根据并集的定义求解；（2）将问题转化成，然后利用集合包含关系求解.【小问1详解】当a =2时,，，∴；【小问2详解】由题可得，，选择①，A∪B= B，则，∴，解得，∴实数a的取值范围是；选择②，由“ ”是“”的充分条件，可得，∴，解得∴实数a的取值范围是；选择③，∵，∴或，∵,∴，解得∴实数a的取值范围是.20. 定义在上的函数满足，.（1）求的值（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）若函数在上单调递增，求不等式的解集.【答案】（1）（2）函数为奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，根据已知列方程即可得出答案；（2）令，根据已知列方程结合小问一即可得出，即可证明；（3）令，得出，即，根据已知结合奇函数的性质得出，得出，根据已知结合奇函数的性质得出函数在上单调递增，即可根据单调性解不等式得出解集.【小问1详解】令，得，解得；【小问2详解】因为函数的定义域为，令，则，，，函数为奇函数；【小问3详解】，令，得，，，，，，函数在上单调递增，且函数为奇函数，函数在上单调递增，，解得，故不等式的解集为.21. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）最大值为1000万元，此时年产量为105千件【解析】【分析】（1）分与两种情况，求出函数解析式；（2）在（1）的基础上，结合函数单调性与基本不等式求出分段函数的最大值.【小问1详解】当时，当时，，∴；【小问2详解】当时，∴时，取得最大值，最大值为950，当时，当且仅当，即时取等号，因为，所以的最大值为1000万元，此时年产量为105千件.22. 给定函数，若对于定义域中的任意x，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.（1）证明：函数是“爬坡函数”；（2）若函数是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据“爬坡函数”的定义，判断在定义域是否恒成立即可.（2）令有恒成立，讨论参数m结合二次不等式区间上恒成立求其范围.【小问1详解】恒成立，则是“爬坡函数”.【小问2详解】依题意，恒成立，令，即在恒成立，当，即，则只需满足，当，即，则只需满足，综上所述，实数m的取值范围为