2022-2023学年河南省学校联盟高一上学期期中联考数学B试题（解析版）

2022-2023学年河南省学校联盟高一上学期期中联考数学B试题

一、单选题

1．命题“”的否定形式是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．

【解析】命题的否定．

2．设集合，，全集，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式可求得集合，由补集和并集定义可求得结果.

【详解】由得：，则，；

由得：，则，.

故选：B.

3．方程的根所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定其零点所在区间，由此可得方程的根所在的区间.

【详解】令，

因为函数在上都为增函数，

所以函数在上单调递增，

又因为，，

由零点存在性定理可知的零点所在区间为，

所以方程的根所在区间为.

故选：B

4．甲，乙两人从同一地点出发，沿同一方向行进，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多

C．甲比乙先到达终点 D．甲，乙两人的速度相同

【答案】A

【分析】根据甲乙两人运动的路程与时间的关系，结合图象即可求解.

【详解】由图结合已知条件可知，甲比乙先出发，且行驶的路程都为，故A正确，B错误；

当甲、乙两人行驶的路程为时，乙所用时间比甲少，故乙的速度较大，由图易知，甲，乙同时到达终点，故C，D错误．

故选:A．

5．已知幂函数的图像过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，把点代入解析式求得，再求.

【详解】为幂函数，设，依题意，解得，

所以，则．

故选：B．

6．已知函数为奇函数，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】由于为奇函数，代入特殊值，即可求得，即可得到结果.

【详解】因为为奇函数，所以，

则，解得，

经检验，此时为奇函数，符合题意.

故选：B.

7．已知函数为偶函数，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数定义可确定图象关于对称，从而可得图象，将所求不等式化为或，结合图象可得不等式的解集.

【详解】为偶函数，，图象关于对称，

由此可得图象如下图所示，

等价于或，由图象知：或；

的解集为.

故选：D.

8．已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，变换得到，令，确定函数为偶函数，故，计算得到答案.

【详解】由题意得，则，

令，则上式可化为，

令，则，故为偶函数，

关于的方程有唯一实数解，

即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，

故．

故选：C

二、多选题

9．下列各式的值相等的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】BC

【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系，以及负分数指数幂与正分数指数幂的关系即可求解.

【详解】对于A，，，不符合题意；

对于B，，符合题意；

对于C，，符合题意；

对于D，，，不符合题意．

故选:BC．

10．设正实数满足，则（    ）

A．的最大值是 B．的最小值为9

C．的最小值为 D．的最大值为2

【答案】ABC

【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；

对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；

对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误．

故选：ABC．

三、单选题

11．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.

【详解】函数与的图象过定点，

所以C，D错误；

又因为与单调性相异.

故选：A

四、多选题

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】构造函数，确定函数单调递增得到，取，可得A错误，根据单调性知BD正确，当，时C错误，得到答案.

【详解】由，得，令，则．

因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，故.

取，可得，故A错误；

因为在上单调递增，所以当时，，故B正确；

当，时，，无意义，故C错误；

因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．

故选：BD

五、填空题

13．集合，，若，则实数的值组成的集合为______．

【答案】

【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由，通过分类讨论求解实数的值.

【详解】解得，由，∴集合，

，且，∴或或，

时，方程没有实数根，∴；

时，方程的解为，∴；

时，不成立，∴．

所以实数组成的集合为．

故答案为：

14．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】利用分母不等于0，以及根式有意义列不等式求解即可.

【详解】要使函数有意义，

则

所以的定义域为．

故答案为：

15．已知，，．若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】解不等式得到，记p，q，r中的取值构成的集合分别为A，B，C，根据集合的包含关系得到答案.

【详解】，，解得，即．

记p，q，r中的取值构成的集合分别为A，B，C，

由于是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则A是C的真子集，C是B的真子集，

则，解得，即实数的取值范围是．

故答案为：

16．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据题意确定，考虑，两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案.

【详解】因为当时，，要使的值域为，必须满足当时，单调递增，故．

当时，，故当时，

当时，，不等式恒成立；

当时，，解得，即.

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：

六、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)1

(2)7

【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简；

(2)根据对数的运算法则和性质运算即可.

【详解】（1）因为，所以，，

所以原式；

（2）

.

18．已知是定义在上的奇函数，当时，，且．

(1)求的解析式；

(2)画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）．

【答案】(1)

(2)作图见解析，单调增区间为；单调减区间为．

【分析】（1）根据，得到，当时，，，代入计算得到解析式.

（2）画出函数图像，根据图像得到函数单调区间.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以，，

解得．

所以当时，，

当时，，．

所以

（2）的图象如下：

由图可知，的单调增区间为和，单调减区间为．

19．已知集合，．

(1)若，均有，求实数的取值范围；

(2)若，设，，求证：是成立的必要条件．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意有，分和两种类型讨论.

（2）命题成立，则为假命题，先求出为真命题的条件，就可得到为假命题的条件.

【详解】（1）．

因为，均有，所以．

当，即时，，满足题意；

当时，，由，有或，解得或，所以．

综上，或，即的取值范围是．

（2）证明：若，为真命题，则，为假命题．

先求，为真命题时的范围，

因为，所以，即．

由，，得．

则，解得，所以．

因为，为假命题，所以．

综上，若，则是成立的必要条件．

20．已知函数，其中且.

(1)求函数的零点；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据零点的定义，通过解方程求函数的零点；

（2）讨论，根据对数函数的单调性化简不等式求其解集.

【详解】（1）令，即，

则，所以，

所以函数的零点为l.

（2）即，则，得.

当时，函数是增函数，所以，解得或，所以；

当时，函数是减函数，所以，解得，所以.

综上，实数的取值范围为.

21．某企业投资144万元用于火力发电项目，年内的总维修保养费用为（）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）

(1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：

①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；

②纯利润最大时，以4万元转让该项目．

你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

【答案】(1)，第4年起开始盈利

(2)选择方案①更有利于该公司的发展，理由见解析

【分析】（1）根据题意得到，解不等式得到答案.

（2）分别利用均值不等式和二次函数性质计算利润的最大值，再对比时间得到答案.

【详解】（1）由题意可知，

令，得，解得，

所以从第4年起开始盈利．

（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，

则，

当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值12，

此时该项目共获利（万元）．

若选择方案②，纯利润，

因为，所以当或8时，取得最大值80，此时该项目共获利（万元）．

以上两种方案获利均为84万元，但方案①只需6年，而方案②至少需7年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．

22．已知定义在上的偶函数和奇函数满足．

(1)求函数和的解析式；

(2)判断并证明函数在定义域上的单调性；

(3)求函数的最小值．

【答案】(1)，

(2)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇偶性可得，与已知等式构成方程组求得；

（2）设，由可得在上的单调性，根据奇偶性可得对称区间单调性；

（3）由奇偶性定义可证得为偶函数；结合函数单调性可求得当时，，都在处取得最小值；根据偶函数性质可确定的最小值即为.

【详解】（1）为偶函数，为奇函数，，

又，，.

（2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下：

设，

；

，，即，，

在上单调递增，

又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减.

（3）由题意知：的定义域为，

，为定义在上的偶函数；

当时，为增函数，为减函数，为增函数，；

令，则，由（2）知：在上单调递增，

；

当时，，

令，则，，

当时，，都在处取得最小值，则此时；

为偶函数，当时，.