2022-2023学年河南省禹州市第一高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省禹州市第一高级中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，那（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】由于，

所以.

故选：A

2．已知；，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先根据命题求出的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义，即可判断是的必要不充分条件.

【详解】解：，，

即，

解得：，

设,

，

故是的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据图象可得，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：由图象可得，所以，故A正确；

对于B：因为，所以，所以B错误；

对于C：因为，所以，故C错误；

对于D：当时，满足，此时，

所以，即，故D错误，

故选：A

4．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先求集合，再根据，求实数的取值范围.

【详解】由或，，若，则实数a的取值范围为.

故选：A

5．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得出，由此可求得实数的取值范围.

【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，

所以，解得，故实数的取值范围是．

故选：D．

6．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B．3 C．8 D．9

【答案】D

【解析】利用””的代换结合基本不等式求解即可．

【详解】

当且仅当，即时取等号

则的最小值为

故选：D

7．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，

由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，

由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，

两根之和为，不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

8．已知关于x的不等式的解集是，则错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据关于x的不等式的解集是，可得是方程，然后利用根与系数的关系判断.

【详解】因为关于x的不等式的解集是，

所以是方程的两根，

所以，

，故ABC正确；

设，其图象如图所示：

由图象知：，故D错误；

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集的应用，关键是三个“二次”的转化，还有根与系数的关系与函数零点，注意二次项系数的正负.

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）．

A．若命题，，则，

B．不等式的解集为

C．是的充分不必要条件

D．，

【答案】ABC

【解析】对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断.

【详解】解：对A，若命题，，则，，故A正确；

对B，，

令，

则，

又的图象开口向上，

不等式的解集为；故B正确；

对C，由，

解得：或，

设，，

则，故是的充分不必要条件，故C正确；

对D，当时，，故D错误.

故选：ABC.

10．下列不等式，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．

【详解】解：，

，的符号不定，所以与的大小不定，错误；

，

故，正确；

，当时，，故错误．

，故，正确；

故选：．

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

11．设全集，集合和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】化简集合M，N，计算，，，即可求解.

【详解】，，

，，故AB不正确；

，，

，，故CD正确.

故选：CD

12．若，，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】利用基本不等式可判断ABD选项的正误，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项的正误.

【详解】对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，，，

当且仅当时，等号成立，B选项正确；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，由A选项可知，，即，，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

13．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围______.

【答案】

【解析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围.

【详解】由不等式，解得或，

解方程，解得或，

（1）若，即时，不等式的解集为，

若不等式组只有1个整数解，则，解得；

（2）若，即时，不等式的解集为，

若不等式组只有1个整数解，则，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：

14．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.

【答案】

【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解

【详解】当时，，此时满足，

当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，

所以当集合有公共元素时，解得，

当集合有公共元素时，解得，

故的取值集合为.

故答案为：

15．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的范围是___________.

【答案】

【解析】分类讨论，根据二次函数的图象列式可求得结果.

【详解】当，不等式对任意实数都成立；

当时，关于的不等式即对任意实数都成立，

等价于，解得，

综上所述：.

故答案为：

【点睛】易错点点睛：容易漏掉的情形.

四、双空题

16．已知正数满足 ，当时，的最小值为_______；当时，的最小值为_______

【答案】         

【解析】当时，则，则，利用基本不等式即可求出；

当时，，则可得，利用基本不等式即可求出．

【详解】解：当时，，则，

，当且仅当，，

故的最小值为，

当时，，当时，等式不成立，当则，

则，

，当且仅当时取等号，

的最小值为7，

故答案为：，7．

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

五、解答题

17．已知集合．

（1）若，求；

（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）三个条件任选一个，结论都是．

【解析】（1）求出集合，由并集定义计算；

（2）选择任何一个作为条件都得出，由此可得的范围．

【详解】（1），又，∴或；

（2）选①　

∵，∴，

∴，∴．

选②

∵，∴，

∴，∴．

选③

∵，∴，

∴，∴．

18．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题．

(1)求实数m的取值集合A；

(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；

（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.

【详解】（1）命题p：“，使不等式成立”是假命题，

则“，使不等式恒成立”是真命题，

故，解得，

故，即.

（2）由于命题：，整理得：，

由小问1得：，

由于是的充分不必要条件，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

19．已知，，求证：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）由，可得，结合，可得；

（2）由，，，利用基本不等式可得，，，三个式子相乘，进而可证明结论成立.

【详解】证明：（1）因为，所以，，

于是，即，

由，得.

（2）因为，，，所以，，，

所以，

当且仅当时，等号同时成立，因为，所以上式中等号不能同时取得.

所以.

【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.

20．解答下列各题．

(1)若关于x的不等式的解集为或，求a，b的值．

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)．

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理即可求得a，b的值；

（2）对分类讨论,结合零点的分布情况即可求解.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以且是一元二次方程的两个实数根，

，解得，.

（2）不等式化为，

即，

当时，化为，解得，解集为，

当时，，解得或，

不等式的解集为：，

当时，，解得，

不等式的解集为：

当时，，解得：，

不等式的解集为：，

当时，解集为，

综上所述：

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为解集为

当时，解集为.

21．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．

① 每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

② 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为．

如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？

【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.

【解析】（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；

（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.

【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为.

又.

当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.

因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；

（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.

若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.

结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知关于的不等式的解集为；

(1)若,求的取值范围；

(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在，3

【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；

（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程的两根，由判别式及韦达定理求解即可；

（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．

【详解】（1）解：当时，解得或，

当时，不等式化为1＞0，

∴时，解集为R，

当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立，

当时，，

解得：,

综上，的取值范围是；

（2）解：若存在两个不相等负实数，使得，

所以方程的两根分别为和,

所以，

解得：；

（3）解：根据题意，得出解集，；

当时，解得或，

时，不等式的解集为，满足条件；

时，1＞0恒成立，不满足条件；

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

综上，满足条件的值为3.