2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则下列选项不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合与集合的包含关系逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为，则，，，ABC对，D错.

故选：D.

2．正确表示图中阴影部分的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据Venn图直接写出图中阴影部的正确表示即可.

【详解】解：由题意图中阴影部分：

故选：C

【点睛】本题考查集合运算的Venn图表示，是基础题.

3．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.

【详解】长、宽、高之和不超过，.

故选：.

4．已知方程的两根分别为、，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用韦达定理计算可得结果.

【详解】由韦达定理可得，因此，.

故选：B.

5．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.

【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，

故选：.

6．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分析集合M、N，得到，再对选项逐个分析判断.

【详解】，

，

因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数，所以.

对于A：，故A错误；

对于B，C：，故B正确、C错误；

对于D：，故D错误．

故选：B．

7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可求得的取值范围.

【详解】因为，，且，则，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，

因为恒成立，则.

故选：A.

8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A．R B． C． D．或

【答案】D

【分析】根据二次不等式的解集与系数的关系可得，再求解不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，故，且与为方程的两根.故，解得，故不等式，即，故，解得或.

故选：D

9．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断D选项.

【详解】因为，则，，由不等式的基本性质可得.

对于A选项，当时，则，A错；

对于B选项，，

故，B对；

对于C选项，，则，C错；

对于D选项，，故，D错.

故选：B.

10．已知函数的定义域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由在上恒成立，分和结合二次函数性质求解即可..

【详解】由题意得：在上恒成立.

即时，恒成立，符合题意，

时，只需，

解得：，

综上：，

故选：C.

二、多选题

11．下列命题中，错误的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．，

C．命题“，”的否定为假命题

D．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件

【答案】ABC

【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断AD选项；利用特殊值法可判断B选项；利用一元二次方程的判别式、存在量词命题的否定可判断C选项.

【详解】对于A选项，解方程可得或，

所以，“”是“”的充分不必要条件，A错；

对于B选项，当时，，B错；

对于C选项，对于方程，，即方程无实解，

故命题“，”为假命题，其否定为真命题，C错；

对于D选项，“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”，

但“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”，

所以，“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对.

故选：ABC.

12．设，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C．的最小值为 D．

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用对勾函数的单调性可判断C选项.

【详解】因为，，，

对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，因为，

所以，，当且仅当时，等号成立，B对；

对于C选项，令，因为函数在上单调递减，

故，C错；

对于D选项，，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：ABD.

三、双空题

13．用符号语言表示命题：对于所有的正实数，满足：___________；该命题的否定为：___________.

【答案】     ，     ，

【分析】利用存在量词命题的可改写原命题，利用存在量词命题的否定可写出其否定.

【详解】用符号语言表示原命题为：，，

该命题的否定为：，.

故答案为：，；，.

四、填空题

14．函数的定义域是_________________.

【答案】

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，即，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

五、双空题

15．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生.

【答案】         

【分析】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为根据题中可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得解.

【详解】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为，则，

由题意可得，解得，故，

故同时参加合唱社团和科技社团的最多有个学生，最少有个学生，

故答案为：；.

六、填空题

16．如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，由面积关系列不等式，化简后解一元二次不等式得答案.

【详解】设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，

根据题意可得，

整理得：，

即，

解得或，

不合题意，舍去，

故所求花卉带宽度的范围为，

故答案为：.

七、解答题

17．比较下列各组中与的大小，并给出证明.

(1)与，其中；

(2)与；

(3)与.

【答案】(1)，证明见解析

(2)，证明见解析

(3)答案见解析，证明见解析

【分析】（1）（2）（3）利用作差法可得出、的大小关系.

【详解】（1）解：，故.

（2）解：，

当且仅当时，等号成立，故.

（3）解：.

当时，；当时，；当时，.

18．已知集合，或.

(1)求、；

(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)或

【分析】（1）利用补集、交集的定义计算可得集合、；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：已知集合，或，

则或，，或.

（2）解：因为，为假命题，则，为真命题，所以，.

①当时，即当时，，则成立；

②当时，即当时，，由题意可得或，

解得或，此时.

综上所述，或.

19．已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)当时，求；

(2)若______，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)选择①，；选择②，；选择③，

【分析】(1)取化简，化简，再根据交集的定义求；

(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.

【详解】（1）由题意得，.

当时，，

∴；

（2）选择①.

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时， ，此时，不满足，舍去.

综上，实数a的取值范围为.

选择②.

当时，，满足；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，.

综上，实数a的取值范围为.

选择③.

当时，，，∴，满足题意；

当时，，，要使，则，解得；

当时，，，此时，，满足题意.

综上，实数a的取值范围为.

20．通过市场调查，得到某种纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表：

(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系：

①；②；③；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

(3)设你选取的函数为，若对任意实数，方程恒有两个相异的实根，求的取值范围.

【答案】(1)选②，理由见解析

(2)该纪念章上市第天时，该纪念章的市场价格最低，且最低价为元一枚

(3)

【分析】（1）根据函数的单调性可得出合适的函数模型；

（2）将表格中的数据代入函数的解析式，求出、、的值，再利用二次函数的基本性质可求得该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

（3）由结合可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由表格中的数据可知，关于的函数在上不单调，故选②较好.

（2）解：由题意可得，解得，则，

故当时，取最小值，

因此，该纪念章上市第天时，该纪念章的市场价格最低，且最低价为元一枚.

（3）解：由可得，

因为对任意实数，方程恒有两个相异的实根，

则，可得对任意的恒成立，

所以，，解得，

因此，实数的取值范围是.