2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

2．下列表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.

【详解】解：对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确，

对于选项B，，即B错误，

对于选项C，，即C错误，

对于选项D，，即D错误，

故选：A.

【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题.

3．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，；

所以共有9个，

故选：A.

【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

4．已知a∈R，则“a＞3”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式的解集，可解决此题.

【详解】解：解不等式得：a＜0或a＞3，所以a＞3是的充分不必要条件.

故选：A.

5．若命题“时，”是假命题，则的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】全称命题的否定是特称命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围

【详解】因为“，”是假命题，

则其否定“，”为真命题

则

而当时，取得最小值

所以

故选：B

6．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．4 B．7 C．8 D．16

【答案】B

【分析】求出集合A，B，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．

【详解】：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，

B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，

∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，

共7个．

故选：B．

7．下列命题中，真命题是（    ）

A．若、且，则、至少有一个大于

B．，

C．的充要条件是

D．，

【答案】A

【分析】利用反证法可判断A选项；利用全称量词命题的真假可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，假设、都不大于，即且，由不等式的性质可得，

与题设矛盾，假设不成立，原命题为真命题，A对；

对于B选项，当时，，B错；

对于C选项，若，则无意义，即，

当时，可得，即，

所以，是的充分不必要条件，C错；

对于D选项，，，D错.

故选：A.

8．若集合，则集合的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，对是偶数和奇数进行分类讨论，对的可能取值进行列举，即可得出集合的元素的个数.

【详解】由题意，，

若为偶数，为奇数，

若，则，

以此类推，，，，，共个，每个对应一个；

同理，若为奇数，为偶数，此时、、、，共个，每个对应一个.

于是，共有个，每一个对应一个满足题意.

故选：B.

二、多选题

9．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为（    ）

A．x与2的和是非负数，可表示为“”

B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“”

C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且”

D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“”

【答案】CD

【分析】由不等关系求解.

【详解】A.x与2的和是非负数，应表示为“”，故错误；

B.小明比小华矮，应表示为“”，故错误；

C.，D正确．

故选：CD．

10．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（　　）

A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}

【答案】CD

【分析】解不等式或即得解.

【详解】∵集合，满足，

∴或，解得或．

∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．

故选：CD．

11．下列结论中正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件

C．若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件

D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件

【答案】ABC

【分析】需要逐项分析才能求解.

【详解】对于A，若，则 或 ，即“ ”不一定成立，

反之若“ ”，必有“x2＞4”，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，

A正确；

对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如，反之“x2为无理数”，

则“x为无理数”，故“x为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若“”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，

则“”，故若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件，

C正确；

对于D，在中，若“”，则∠A＝90°，

故“为直角三角形”，反之若 ，则有， ，

 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D错误；

故选：ABC.

12．公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（ ）．

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】先结合图象，利用垂直关系和相似关系得到大圆半径，小圆半径，，，，再通过线段大小判断选项正误即可.

【详解】因为是圆O的直径，则，

因为，则，所以，故，

易有，故，即，

大圆半径，小圆半径，

，，

故，同理.

选项A中，，显然当时是钝角，在上可截取，故，即大圆半径，故，正确；

选项B中，当时，大圆半径，有，故错误；

选项C中， 中，，故，故错误；

选项D中，大圆半径，小圆半径，

则，而，故，故正确.

故选：AD.

【点睛】本题解题关键在于将选项中出现的数式均与图中线段长度对应相等，才能通过线段的长短比较反馈到数式的大小关系，突破难点.

三、填空题

13．命题“，”的否定是__________.

【答案】，

【分析】根据存在量词命题的否定的知识写出正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以原命题的否定是：，.

故答案为：，.

14．已知集合，若，则 ______．

【答案】1

【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案.

【详解】依题意可知，由于，

所以，此时，

所以，解得或（舍去），

所以.

故答案为：.

15．已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.

【答案】1或

【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.

【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，

①当时，，满足题意；

②当时，，所以，

综上所述，或.

故答案为：1或.

16．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集是一个数域.有下列说法：

①整数集是数域；②若有理数集M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确说法的序号是____________．

【答案】③④

【分析】根据数域的定义对个说法进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①因为，所以整数集不是数域，所以①错误；

②令，则，但，所以②错误；

③根据数域的定义，如果在数域中，那么，

都在数域中，所以数域是无限集，③正确；

④，

任取，且，，

则，，

，

时，，

所以集合是数域.

同理可证得等等是数域，

所以数域有无穷多个，④正确.

故答案为：③④.

四、解答题

17．已知集合，，.

（1）求A∪B；；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）A∪B，或；（2）.

【分析】(1)由集并补的运算律可求A∪B，；(2)由借助数形结合转化条件，由此可求a的范围.

【详解】（1）∵，，

∴A∪B

或

或

（2）∵   ，，

∴   ，

∴   a的取值范围为

18．市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：

(1)只订日报不订晚报的有多少人？

(2)只订晚报不订日报的有多少人？

(3)至少订一种报纸的有多少人？

(4)有多少人不订报纸？

【答案】(1)184；

(2)147；

(3)331；

(4)19.

【分析】被调查的500名市民构成集合U，订阅日报的有334人组成集合A，订阅晚报的有297人组成集合B，借助集合的运算即得.

【详解】（1）设是被调查的500名市民，是订阅日报的人，订阅晚报的人，则card( U )=500，card()=150，card()=334，card()=297，

所以只订日报不订晚报的人，只订日报不订晚报的人数为334－150=184(人)；

（2）只订晚报不订日报的人，只订晚报不订日报的人数为297－150=147(人)；

（3）至少订一种报纸的人，至少订一种报纸的人数为334+297－150=481(人)；

（4）不订报纸的人，不订报纸的人数为500－481=19(人).

19．设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.

(1)若－1∈B，求a的值；

(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入方程即可求解.

（2）求出集合，由题意可得，根据集合的包含关系即可求解.

【详解】（1）因为－1∈B，所以，

解得

（2），

由题意可得，

当时，，解得，

当时，或或，

当时，，此时无解；

当时，，解得；

当，，解得，

综上所述， a的取值范围为.

20．（1）试比较与的大小

（2）已知，求，的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）；.

【分析】（1）作差法证明；（2）利用不等式的性质直接计算可得.

【详解】（1）因为

所以.

（2）因为，所以，

所以；

因为，所以，

所以，所以.

21．已知集合.

(1)若集合，且，求的值；

(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.

【答案】(1)5

(2)﹛或﹜

【分析】（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证；

（2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解.

【详解】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，

因为A＝B，所以，

解得，

故a＝5.

（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.

当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；

当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；

当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.

综上，a的取值范围为.

22．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．

(1)求集合U和A；

(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)能；

【分析】（1）根据题中的新定义，讨论a、b的取值，即可确定出集合U与A；

（2）求出A的补集，根据知或，由此求得m的取值范围．

【详解】（1）全集U中

，

当时，或，此时或；

当时，，此时，所以，

由A中，

当时，，此时，即；

（2）因为，当时，或，

当时，方程无实根，，解得；

时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；

综上知，实数m的取值范围是．