2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，当时，的解有且仅有一个：，符合题意，所以；当时，要使的方程的解集中有且仅有一个元素，则有：，则.所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.故选：B.2．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可.【详解】当为无理数时，为有理数，则.当为有理数时，为有理数，则.所以当时，，故“为无理数”是“”的充分不必要条件.故选：A3．正数，满足，则的最小值为（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】因为为正数，且，所以有，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.4．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题，根据平移和伸缩变化得，由在上没有零点求得的取值范围.【详解】，把的图象先向右平移个单位长度，可得，再将所得函数图象上点的横坐标变为原来的得到函数，由，可得，要使函数在上没有零点，则函数在上没有零点，因为，则且，所以.故选：D.5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数的对称轴为，因为函数在区间上单调递减，所以有，故选：A6．若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     )A． B． C． D．【答案】D【分析】分和两种情况进行讨论即可【详解】当时，则，在上单调递增，满足题意；当时，的对称轴为，要使函数在上单调递增，只需，解得综上，a的取值范围是故选：D7．定义在上的函数满足，时，若的解集为，其中，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知：函数关于对称，作出函数在区间上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数的取值范围即可.【详解】因为函数满足，所以函数关于对称，作出函数在区间上的图象，又因为不等式的解集为，其中，根据图象可知：当直线过点时为临界状态，此时，故要使不等式的解集为，其中，则，故选：. 二、多选题8．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．9．已知均为实数，下列不等关系不正确的是（   ）A．若 ，则  B．若 ，则 C．若 ，则  D．若 ，则 .【答案】ABC【分析】举反例可判断，采用作差法可判断C，利用不等式性质可判断D，即得答案.【详解】因为，故可取 ，则，A错误；若，取，而，B错误；若，即，则，C错误；若，则 ，故，所以，D正确，故选：10．函数在上有定义，若对任意，都有，则称在上具有性质P.设在上具有性质，则下列命题正确的有（    ）A．在上的图象是连续不断的B．在上具有性质C．若在处取得最小值1，则，D．对任意 ，有【答案】CD【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明和都是错误的，对，证明且即可，对，需先证明出.【详解】对，反例在上具有性质，但在上的图象不是连续的，所以错误；对，反例在上具有性质，但在上不具有性质，所以错误；对，在处取得最小值1，则当时，，，，又因为在上具有性质，则，所以，而，，当且仅当时，才有，故对任意的，， 所以正确；对，因为，所以，，所以正确. 故选：.11．设，，，则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为9 D．的最小值为【答案】ABC【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.【详解】对于A，因为，，，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；对于C，，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为9，故C正确；对于D，，故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．故选：ABC.12．已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ）A．为奇函数 B．是上的增函数C． D．是周期函数【答案】ABC【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，∴，令，则，所以，即，所以为奇函数，故A正确；对于C：令，，因为若,则,又为非常值函数故舍去，所以，所以所以,故C正确:对于B: 设任意的且令所以，又因为为奇函数，所以， 又因为当时，，所以，，,即，所以是上的增函数,故B正确;对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.故选:ABC. 三、填空题13．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．【答案】【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；∴，函数定义域为，在上单调递增，不等式等价于，解得；则实数的取值范围是.故答案为：14．不等式的解集为___________．【答案】【分析】原不等式等价于，分类讨论解即可.【详解】原不等式等价于，对于，当时，，则此时不等式无解.当时，.则原不等式解集为：.故答案为：15．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是__________.【答案】【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若时，即当时，，所以，函数在上单调递减，且，当时，，所以，解得，②若时，即当时，，当时，，当时，.，所以，整理可得，，解得（舍去）；③当时，即当时，，当时，，当时，.因为，所以，整理可得，，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.16．已知函数，若有两个实根，则的取值范围为___________.【答案】【分析】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，即求的值域即可.【详解】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，此时，，，∴，由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，所以当，，所以，则.故答案为：. 四、解答题17．设，集合，(1)若，求(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据，化简两个集合，再求两个集合的并集；（2）由3在集合中，不在集合中，可求取值范围.【详解】（1）当时，所以.（2）集合，所以因为，所以且.则，即，解得.18．关于的不等式：(1)当时，解关于的不等式；(2)当时，解关于的不等式.【答案】(1)或；(2)答案见解析. 【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）分，，，，五种情况解一元二次不等式即可求解.【详解】（1）当时，原不等式化为，方程的实数根为，，所以原不等式的解集为或.（2），当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；当时，方程即的根为，，且，当或时，；当时，；当时，；所以当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集为，综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于的方程在内有两个不同的解，．①求实数的取值范围；②请用的式子表示．【答案】(1)，对称轴方程为(2)①；②． 【分析】（1）由函数图象变换规律可得：，从而可求对称轴方程；（2）①由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得（其中，，由题意得，即可得解；②由题意可得，．当时，可求得；当时，可求得，由即可得解．【详解】（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数图象的对称轴方程为．（2）①（其中，依题意，在区间内有两个不同的解，，当且仅当，故的取值范围是．②因为，是方程在区间内的两个不同的解，所以，．当时，，即；当时，，即；所以．20．已知函数.(1)当时，证明：当时，.(2)当时，对任意的都有成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2) 【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果.方法2：换元法求的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的都有成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可.【详解】（1）方法1：证明：要证，只需证：，即证：，即证：，∵∴∴原命题得证.方法2：证明：当时，，令，则，，∴，，对称轴，在上单调递减，∴，∴，即：当时，恒成立， 即：当时，.（2）当时，即：对任意的都有成立，令， ，即：对任意的都有成立，当时，，故.①当时，在上单调递增，∴，∴在上单调递减，∴，∴此时，∴即，故符合.②当时，由（1）知，，恒成立，∴，，∴，，即：，，又∵在上单调递增，∴，∴∴，∴符合.综述：.【点睛】对于，恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法1：当时，；方法2：当时，.求最值的方法：方法1：分离参数求最值；方法2：分类讨论研究函数的最值.21．已知(1)化简；(2)若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）得，再将转化为用表示，代入的值计算即可.【详解】（1）；（2）由得，.22．双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入万元，由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.22年的全年利润为f（x）（单位：万元）(1)求函数f（x）的解析式；(2)当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.【答案】(1)(2)当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.理由见解析. 【分析】（1）结合题意，分类讨论和两个区间的情况，化简整理即可.（2）由（1）可知：，分类讨论后利用二次函数的性质和基本不等式性质求出最大值，即可的答案.【详解】（1）解：由题意得：所以当，时，则有当，时，则故函数的解析式为：（2）由（1）可知：当时，故在上单调递减，在上单调递增故当时，则有当且仅当，即当时取等号；故此当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.