2022-2023学年江苏省常州市教育学会高一上学期期末学业水平监测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市教育学会高一上学期期末学业水平监测数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式求集合A，再根据集合间的运算求解.

【详解】由题意可得：，

则.

故选：C.

2．若，且为第四象限角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】由于，且为第四象限角，

所以，

.

故选：D

3．下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，在为增函数，故A错误.

对选项B，在为增函数，故B错误.

对选项C，在为减函数，

设，定义域为，

，所以为偶函数，故C错误.

对选项D，在为减函数，

设，定义域为，

，所以为奇函数，故D正确.

故选：D

4．已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（    ）．

A． B． C．6 D．8

【答案】D

【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.

【详解】设扇形半径为r，因扇形面积为4，则.

则扇形周长为.

故选：D

5．设函数，若，则实数a的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.

【详解】当时，则，即，解得；

当时，则，解得；

综上所述：实数a的取值范围是.

故选：A.

6．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.

【详解】函数的定义域为，

，排除BC选项，，排除D选项.

故选：A

7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（    ）．

A．36平方米 B．48平方米

C．64平方米 D．72平方米

【答案】C

【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案.

【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有

.

令，则

，即，当且仅当时取等号.

故选：C

8．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据图象求得，再根据三角函数图象变换求.

【详解】由函数的图象可得：，

可得，解得，

则

∵函数图象过点，则，即，

由，可得，故，解得，

故，

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到，

再向左平移个单位长度，得到.

故选：B.

【点睛】方法点睛：1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定

（1）A由最值确定，；

（2）ω由周期确定；

（3）φ由图象上的特殊点确定．

提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．

2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

二、多选题

9．下列函数中，以3为最小值的函数有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对A：根据余弦函数的有界性分析运算；对B：换元结合二次函数分析运算；对C：换元结合对勾函数分析运算；对D：利用基本不等式分析运算.

【详解】对A：∵，则，

故的最小值为3，当且仅当时取到最小值，A正确；

对B：令，则，

故的最小值为3，当且仅当，即时取到最小值，B正确；

对C：令，且在上单调递减，故，

故的最小值为，C错误；

对D：，当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为3，D正确.

故选：ABD.

10．下列不等式中，正确的有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对A：根据幂函数单调性分析判断；对B：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.

【详解】对A：在上单调递增，则，A错误；

对B：在上单调递增，则，

在上单调递减，则，

故，B正确；

对C：，

在上单调递增，则，

故，C正确；

对D：关于直线对称，则，

在上单调递增，且，则，

故，D正确.

故选：BCD.

11．关于函数的说法正确的有（    ）．

A．的最小正周期为

B．的单调增区间为

C．的图象的对称轴方程为

D．关于x的方程的解集为

【答案】AC

【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.

【详解】由题意可得：，

对A：的最小正周期为，A正确；

对B：令，解得，

故的单调增区间为，B错误；

对C：令，解得，

故的图象的对称轴方程为，C正确；

对D：令，则，

故或，解得或，

可得关于x的方程的解集为或，D错误.

故选：AC.

12．设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a可能的取值有（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．9

【答案】BC

【分析】根据题意分析函数的性质，将零点问题转化为与的交点问题，数形结合，列式运算即可.

【详解】∵，则函数关于直线对称，

又∵函数是定义在R上的奇函数，则，

即，则，

故函数是以4为周期的周期函数，

又∵，即，

故函数关于点对称，

令，则，

原题等价于与有3个交点，且的定义域为，

如图所示，则可得，解得，

故B、C正确，A、D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：

（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．

（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

三、填空题

13．给定3个条件：①定义域为R，值域为；②最小正周期为2；③是奇函数．

写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．

【答案】（答案不唯一，满足题意即可）

【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.

【详解】对于函数的定义域为R，，即的值域为，符合①；

函数的最小正周期，符合②；

，即是奇函数，符合③；

综上所述：符合题意.

故答案为：.（答案不唯一，满足题意即可）

14．已知函数（且）为偶函数，则实数a的值为__________．

【答案】

【分析】根据偶函数的定义即可求解.

【详解】因为函数（且）为偶函数，

所以，则有，所以，

故答案为：.

15．设函数，使成立的充要条件是（其中I为某区间），则区间__________．

【答案】

【分析】根据题意判断的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.

【详解】∵，故函数在定义域内为偶函数，

当时，则在上单调递增，

故在上单调递减，

若，等价于，等价于，

整理得，解得，

则使成立的充要条件是，即.

故答案为：.

16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）

【答案】9

【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.

【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，

则，解得，

∵，则的最小值为9，

故至少经过9次过滤才能达到市场要求.

故答案为：9.

【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：

（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；

（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；

（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)4

(2)7

【分析】（1）根据指数幂的运算求解；

（2）根据对数的运算求解.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．

(1)求实数a，b的值；

(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；

（2）换元，根据恒成立问题利用参变分离可得对时恒成立，再结合基本不等式运算求解.

【详解】（1）由题意可得：方程的两根为，且

则，解得，

故.

（2）由（1）可得，

令，则对时恒成立，

故对时恒成立，

∵，当且仅当，即时成立，

∴，即实数m的取值范围为.

19．已知角是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．

(1)求，，的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的定义求出，再根据同角三角关系求，；

（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．

【详解】（1）由题意可得：，且角是第二象限角，

则，

故.

（2）由（1）可得：，

则.

20．某同学用“五点法”画函数（其中A，，为常数，且，，）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；

(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

【答案】(1)，表格见详解；

(2)

【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；

（2）利用三角函数的平移变换原则可得，根据整体代入法可得解方程即可求解.

【详解】（1）根据表中的数据，得

又，

函数的解析式为

分别令，依次解得

数据补全如下表：

所以函数的解析式为；

（2）由（1）知得，

因为函数图像的对称中心为，令

解得.  因为函数图像的一个对称中心为，

所以，解得.

由可知，当时，取得最小值为.

21．已知为偶函数，为奇函数，定义域均为R，且．

(1)求，的解析式；

(2)判断在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)解关于x的不等式．

【答案】(1)，.

(2)函数在R上单调递增，证明见详解.

(3)

【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；

(2)利用指数函数的单调性判断函数为R上的增函数，然后利用定义即可证明；

(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.

【详解】（1）由①可得：，

又因为为偶函数，为奇函数，所以②，

①②可得：，则，

所以，.

（2）函数在R上单调递增，证明如下：

设任意的，且，

则，

因为，所以，则，所以，故函数在R上单调递增.

（3）因为，所以，

则不等式可化为，

由（2）可知：函数在R上单调递增，所以，

解得：，所以不等式为.

22．已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．

(1)求使得成立的x的取值集合；

(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；

(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见详解，

(3)

【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；

（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式；

（3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解.

【详解】（1）由题意可得：，

则，解得，则，

故使得成立的x的取值集合.

（2）∵，即，则，

∴为周期为4的周期函数，

又∵是定义在R上的奇函数，则，即，

当时，则，故；

又∵是定义在R上的奇函数，则有：

当时，则，故；

当时，则，故；

综上所述：当时，则.

（3）对于，

令，则的对称轴为，

故当时，取到最大值，故当时，取到最小值，

故，

由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且，

故当时，则的最大值为，

又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为，

∴的最大值为，则对任意恒成立，

又∵，当且仅当，即时等号成立，则有：

当时，则，不合题意，舍去；

当时，则，解得，

综上所述：实数a的取值范围为.

【点睛】结论点睛：

（1）对，则；

（2）对，则；

（1）对，则；

（1）对，则.