2022-2023学年江苏省常州市教院附属高级中学高一上学期期末模拟数学试题A卷（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市教院附属高级中学高一上学期期末模拟数学试题A卷

一、单选题

1．若为第二象限角，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知结合同角的三角函数关系，求得，即可求得答案.

【详解】由题意知为第二象限角，且，

故，

故，

故选：B

2．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解.

【详解】命题“”是真命题，

则，

又因为，

所以，即实数的取值范围是.

故选：A.

3．若函数的图象向左平移一个单位长度，所的图象与曲线关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．

【详解】因为与曲线关于轴对称的曲线为，

向右平移1个单位得，

所以．

故选：C．

4．函数对于任意的都有成立，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意得到是函数的最小值，是函数的最大值，由的最小值为半个周期求解.

【详解】解：因为函数对于任意的都有成立，

所以是函数的最小值，是函数的最大值，

所以的最小值为半个周期，

即，

故选：B

5．函数的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】注意分段函数的定义域，直接令即可求解.

【详解】由题设知，

当时，令，

即，

解得：，，（舍），

即当时，零点的个数是2；

当时，，此时没有零点.

故选：B.

6．已知偶函数在上单调递减，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数单调性得到，，，再利用指数运算得到，，比较出，得到，结合的奇偶性和单调性比较出大小.

【详解】在上单调递减，故，

在R上单调递减，故，

在R上单调递增，故，则，

且，，

因为，所以，

故，

因为偶函数在上单调递减，故，

由于，所以，

即.

故选：C

7．将函数的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像则的函数表达式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换的规律求解函数解析式.

【详解】由题意可得函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位得到函数的图像，

的图像上各点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图像，再向左平移个单位得到函数的图像，

所以.

故选：C

8．已知定义在R上的非常数函数满足对于每一个实数，都成立以下等式：，则的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件可得，进而，然后根据周期的定义结合条件即得.

【详解】因为，

所以，

即对任意成立，

则，即，

由可得对任意成立，

即对任意成立，

则，即对任意成立，

则为的一个周期；

若为的一个周期，即，则，

所以，又，

所以这与为定义在R上的非常数函数矛盾，

所以不是函数的周期.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若方程的解在内，则

B．函数的零点是

C．函数的图像关于直线对称

D．用二分法求方程的近似解，令,过程中得到以下三个式子：，，则方程的根落在区间上

【答案】ACD

【分析】由函数零点的概念判断选项B，由函数零点存在性定理判断选项AD，由反函数性质判断选项C.

【详解】对于选项A，令，

因为在上是增函数，且，

所以由零点存在性定理可得方程的解在，所以，故A正确；

对于选项B，令得或，故函数的零点为和，故B错误；

对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C正确；

对于选项D，由于，，可得，

所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.

故选：

10．下列函数中，最小值为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于BC选项，结合嗯不等式讨论即可得判断.

【详解】解：对于A，当时，显然不满足题意，故A错误；

对于B，，，，当且仅当，即时，取得最小值，显然成立，故B正确；

对于C，，，，当且仅当，即时，取得最小值，故C正确；

对于D，当时，显然不满足题意，故D错误；

故选：BC

11．函数在区间上最小值为，则实数的可能的取值有（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】ACD

【分析】分类讨论的符号，以为整体，结合正弦函数分析求解.

【详解】当时，∵，则，

由题意可得：，

∴，B错误，C、D正确；

当时，则，不合题意，舍去；

当时，∵，则，

由题意可得：，

∴，A正确；

故选：ACD.

12．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要的应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列给出的有关双曲函数的结论中正确的是（    ）

A．

B．是偶函数

C．的单调递增区间为

D．

【答案】ACD

【分析】根据指数运算判断A；根据函数奇偶性定义判断B；利用函数单调性定义证明C；根据指数运算判断D.

【详解】解：对于A：因为双曲正弦函数和双曲余弦函数

则，故A正确；

对于B：函数，定义域为，所以，则函数是奇函数，故B错误；

对于C：函数定义域为，则对任意的，则，

因为，所以，即，，又当时，，当时，，

即时，，即，函数单调递增，即时，，即，函数单调递减，

则的单调递增区间为，故C正确；

对于D：由于，

又

，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．______.

【答案】1

【分析】化简对数即可得出结果.

【详解】解：由题意

故答案为：1.

14．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____．

【答案】

【详解】试题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．

解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，

并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．

Rt△AOC中，r=AO==，

从而弧长为 α×r=2×=，

故答案为．

【解析】弧长公式．

15．已知，关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】令，结合的图象将问题转化为“方程在上有两不等实根”，然后根据二次函数性质即得.

【详解】作函数的图象如图所示，

令，因为关于x的方程有8个不等的实数根，

结合图象可知，关于的方程在上有两不等实根，

则，

解得，

所以的取值范围是.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】化简函数画出函数图像，利用函数的单调性，等价出不等式解出来即可.

【详解】因为，如图：

由图可知函数在上单调递增，

由函数，

所以，

即，在上恒成立，

即满足，

因为，所以

当时，

解得：，

当时，

解得：，

故实数的取值范围为：，

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合，其中.

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）时，分别求解集合，由集合的运算即可解得；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

【详解】（1）由题意，得，

当时，，

故.

（2）若“”是“”的充分不必要条件，

则真子集，

即，等号不同时取，

解得.

18．计算：

(1)求值；

(2)已知，，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；

（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值.

【详解】（1）解：原式

.

（2）解：原式，

即，

因为，则，所以，，则，

因此，.

19．已知函数.

(1)求函数的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值（用集合表示）；

(2)若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先利用辅助角公式化简，再结合余弦函数的性质求解即可；

（2）先结合余弦函数的性质分析的图像，再将问题转化为与的交点问题，结合图像即可得解.

【详解】（1）因为，且，

所以的最大值为，此时，即，

故取得最大值时的取值集合为.

（2）因为，所以，

所以当，即时，取得最大值，

当，即时，取得最小值，

且，

所以结合余弦函数的性质易得在上单调递减，在上单调递增，

因为函数在内恰有两个零点，

所以与在上的图像恰有两个交点，作出与的图像如图，

.  

所以.

20．设是奇函数.

(1)求与的值；

(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据奇函数的性质可得恒成立，化简可求与的值；

(2)利用奇函数的性质，单调性性质化简不等式由此可得恒成立，结合余弦函数和二次函数性质求的最大值，由此可得，解不等式求实数的取值范围.

【详解】（1）因为定义域上的奇函数，所以恒成立.

即对定义域内任意实数均成立.

化简整理得到

因为这是关于的恒等式，

所以，解得或，又，

所以；

（2）因为且为奇函数，

所以，

即.

因为函数为上的增函数，所以函数为上的减函数，

所以在上单调递减，

所以对任意恒成立.

即对任意恒成立.

由于

所以，故

所以，即最大值为.

所以，即.

令，则且，解得，即，

所以.

21．已知函数，且.

(1)讨论在定义域上的单调性；

(2)若，求的范围.

【答案】(1)在上单调递减

(2)

【分析】（1）由确定，后由复合函数单调性可得答案；

（2）将化为，后由函数单调性可得答案.

【详解】（1），

又，

，

由，解得，

的定义域为.

令，

任取，且，

则，

，即；

又在上是增函数，

由复合函数的单调性知：在上单调递减.

（2），

原不等式可化为，即；

由（1）知，是减函数，

，

又的定义域为，

.

22．已知函数在区间上有最大值和最小值，设.

(1)求、的值；

(2)不等式在上恒成立，求实数的范围；

(3)方程有三个不同的实数解，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出关于、的方程组，结合可得出、的值；

（2）由（1）可得，由参变量分离法可知对任意的恒成立，令，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围；

（3）原方程等价于，其中，令，分析可知关于的有两个根、，且，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】（1）解：，

当时，在上为增函数，由题意可得，解得；

当时，在上为减函数，由题意可得，解得，不合乎题意.

综上所述，.

（2）解：由（1）知，

所以，

由于对恒成立，故.

，所以，，

，令，则对恒成立.

因为函数在上单调递增，所以，，所以，.

（3）解：方程化为，

化为，其中，

令，则方程化为.

作出函数图象如下图所示：

因为方程有三个不同的实数解，

所以有两个根、，且

记，则或，

解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.