2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，那么下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可.【详解】集合，对选项A，则，故A错误；对选项B，，故B正确；对选项C，，故C错误；对选项D，表示集合，表示错误，故D错误.故选：B.2．设，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C.3．若正数a、b满足，则下列各式中恒正确的是（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】B【分析】由条件可得，可判断AC，由，可判断C，由可判断D.【详解】∵，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴，可取到，故A错误；∵，∴，当且仅当时取等号，故B正确；由上知，故C错误；由，∴，取，，不成立，故D错误.故选：B．4．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p，2019年的年增长率为q，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x，则由题意得：，解得，，因为不合题意，舍去故选D．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 6．下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意函数为偶函数且在上单调递增，对选项进行逐一验证.【详解】函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数，选项A. 不是偶函数，故排除.选项B. 是偶函数，且在上单调递增，满足条件.选项C. 不是偶函数，故排除.选项D. 是偶函数，当时，是减函数，不满足.故选：B7．已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围.【详解】由题可得，函数为单调递减函数，当时，若单减，则对称轴，得：,当时，若单减，则，在分界点处，应满足，即，综上： 故选：B8．Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）A．35 B．36 C．60 D．40【答案】B【分析】根据题意列出等式，整理化简可得，解出即可.【详解】由题意知，，得，整理，得，即，解得.故选：B 二、多选题9．已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由p：，成立，得当时，，即.对于A，“”是“”的充分不必要条件；对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件；对于C，“”是“”的充分不必要条件；对于D，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：AC.10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键11．设，则下列区间中不存在零点的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】判断、的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间.【详解】，，，函数的零点位于.故选：ACD12．已知函数，实数，满足，则（    ）A． B．，，使得C． D．【答案】CD【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD． 三、填空题13．已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数________.【答案】0【分析】根据偶函数定义，可得，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为，然后结合韦达定理，即可解出【详解】根据解集易知： ，为偶函数，可得：则有：易知的两根为，则根据韦达定理可得：解得： 故答案为：14．若函数在上递减，则函数增区间________.【答案】【分析】函数在上递减，利用复合函数的单调性可得的取值范围，进而可判断函数增区间．【详解】设，则，在上递增，函数在上递减，在上递减，可得函数增区间，即的单调递减区间令，解得或函数增区间为故答案为：【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指对函数的性质，属于中档题．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______.【答案】【解析】由函数在上为减函数，得到，再结合古典概型及其概率的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，又由函数在上为减函数，则，即，当取1时，可取2，3，4，5，6；当取2时，可取4，5，6；当取3时，可取6，共9种，又因为的取值共36种情况，所以所求概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知函数在上的最大值与最小值分别为，，则________.【答案】4【分析】构造是奇函数，由奇函数的对称性求解．【详解】设，，，，所以是奇函数，又，，所以，．故答案为：4． 四、解答题17．一元二次不等式对一切实数都成立的的取值集合为，函数的定义域为．(1)求集合，；(2)记，，是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）讨论和两种情况，结合判别式法求出A，由真数大于0求出B；（2）根据题意是D的真子集，进而求得答案.【详解】（1）对A，若，则，满足题意；若，则.综上：，即.对B，，即.（2）由（1），，因为是的充分不必要条件，所以是D的真子集，于是，即.18．函数在上单调递减，．(1)求的取值范围；(2)当时，求的最小值．【答案】(1)(2)答案见解析 . 【分析】(1)二次函数与对数函数复合的单调性讨论；(2)二次函数与指数函数复合的最小值，由x的取值范围得到指数函数的取值范围，再求二次函数的最小值.【详解】（1）设 ，则 由题意可得， ，所以，所以，a的取值范围为 .（2）因为 ，所以 .又因为 ，若 时， 有最小值；若时， 有最小值，19．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）（Ⅲ）14.68【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【详解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．已知函数为奇函数．(1)求实数a的值；(2)若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a的值；（2）先求解定义域，然后参变分离后求出的取值范围，进而求出实数m的取值范围.【详解】（1）由题意得：，即，解得：，当时，，不合题意，舍去，所以,经检验符合题意；（2）由，解得：，由得：或，综上：不等式中，变形为，即恒成立，令，当时，，所以，实数m的取值范围为.21．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．（1）求函数的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）【答案】（1）（2）30【分析】（1）由题意代入点（1，P0），求得函数P（t）的解析式；（2）根据函数P（t）的解析式，列不等式求出t的取值范围即可．【详解】解：（1）根据题设，得，所以，（2）由，得，两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30因此，至少还需过滤30小时【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．22．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，有解，化为，无解，不是“伪奇函数”；（2）为幂函数，，，，为定义在的“伪奇函数”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，，的值域为，，；（3）设存在满足，即在上有解，在上有解，在上有解，令，取等号时，在上有解，在上有解（*），，解得， 记，且对称轴，当时，在上递增，若（*）有解，则，，当时，在上递减，在上递增，若（*）有解，则，即，此式恒成立，，综上可知，.【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.