2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．若复数为纯虚数，则（    ）A．-4 B．-2 C．-1 D．1【答案】D【分析】利用复数的除法法则化简，根据复数的类型列出方程，求出的值.【详解】，因为复数为纯虚数，所以，解得：.故选：D2．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数量积运算求得，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．【详解】，所以，，而，所以．故选：C．3．已知平面向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量数乘及和差公式得，由诱导公式、倍角公式得【详解】∵，∴.∴.故选：B.4．已知函数的部分图象如图，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据余弦型函数的图象、五点法求函数解析式，再将代入求值.【详解】由题图：，且，则，可得，则，且，所以，，则，，不妨令，则，故．故选：B5．若角的终边经过点，且，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把点坐标中角度化为锐角，根据三角函数定义取锐角并利用两角和的正切公式化简计算．【详解】，，，，，，，，，..故选：D.6．已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简，根据，可得，结合在内有且仅有2个最低点分析即得解.【详解】由题意.当时，.∵在内有且仅有2个最低点，∴，∴.故选：D.7．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，所以说法正确的命题序号是①④．故选：B8．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.【详解】由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，则，所以，而，则且，又，当时的最大值为.故选：A【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值. 二、多选题9．如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ）A．点A在平面内 B．C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交【答案】AD【分析】连接、、、，若是的中点，连接、，利用中位线性质有、都为平行四边形，进而有判断A；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行判断B；根据平面中点、线、面的关系判断C；连接，易证、即可判断D.【详解】连接、、、，若是的中点，连接、， 由题设，且，则为平行四边形，所以且，又E是中点，故且，则为平行四边形，所以且，综上，且，故共面，A正确；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误；由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误；连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且，E、F分别是、的中点，则且，所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确.故选：AD10．如图，这是四棱锥的平面展开图，其中四边形是正方形，E，F，G，H分别是的中点，则在原四棱锥中，下列结论中正确的有（    ）A．平面∥平面 B．∥平面C．∥平面 D．∥平面【答案】ABCD【分析】根据中位线性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理判断B、C、D，由面面平行的判定定理判断A.【详解】由平面展开图还原四棱锥，如图所示，可知ABCD均正确．若为交点，则为中点，连接，为中点，故，面，面，所以∥平面，B正确；又为中点，则，面，面，所以∥平面，D正确；由为中点，则，，故，又面，面，故∥平面，C正确；由，面，面，则面，同理可得面，而，面，所以平面∥平面，A正确.故选：ABCD11．在锐角三角形中，分别是角的对边，已知，若，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用正弦定理与余弦定理化简等式，即可求出，结合为锐角三角形，即可得出，，利用正弦定理易知，结合由此即可求出的取值范围.【详解】由正弦定理及已知可得，由余弦定理可得，因为，所以，所以．故．因为，，所以，所以所以，所以．因为，，所以．故选：AB．12．已知函数，则（    ）A．函数的值域为B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线是函数的一条对称轴D．方程有且仅有一个实数根【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.【详解】显然，，即函数是偶函数，又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；当时，，的最小值为，最大值为，即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，令，，显然在单调递减，而，，于是得存在唯一，使得，因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，所以方程有且仅有一个实数根，D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题13．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的周长是___________.【答案】【分析】首先求出，再根据斜二测画法得到平面图形，由勾股定理求出，即可取出周长.【详解】解：，，，，，由此可知平面图形是如图所示的，其中，，，，故的周长为.故答案为：14．已知复数z满足，则的最大值为____________．【答案】##【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.【详解】设，由，可得，则，即，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是.故答案为：.15．如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】根据异面直线所成的角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角），即可求解【详解】如图：连接，设为的中点，连接，则且，所以为异面直线和所成的角（或补角），由题意可得，所以，，在中由余弦定理可得：，故答案为：16．如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．【答案】【分析】根据，求出的最大值即可【详解】解：在中，设，，整理得：．又，整理得：，，即，，，，，当且仅当时取等号．所以面积的最大值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大． 四、解答题17．已知复数，，其中为非零实数．(1)若是实数，求的值；(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）运用复数乘法及若为实数则，计算可得结果.（2）运用共轭复数及复数除法及若为纯虚数则，计算可得结果.【详解】（1）∵为实数，∴，又∵为非零实数，∴．（2）∵，∴，∴为纯虚数，∴∴m的值为2.18．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】第（1）问中，利用二倍角公式即可求出，从而求得.第（2）问中，利用降幂公式及和差化积的正弦公式，即可求解.【详解】（1）因为，，且，得，，，，，从而．（2）．19．在中，，，分别为内角，，的对边，的面积．(1)若，求的值；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）已知，由面积公式和余弦定理得，由已知及正弦定理和三角恒等变换得，则有，即可求结果.（2）由，结合正弦函数性质求最值..【详解】（1）的面积，有，由余弦定理，，得，即，已知，由正弦定理，有，由，∴即，中，∴，，则，∴，令，则有，解得，由正弦定理，.（2）由（1）有：，为的内角，当时，有最大值.20．在正方体中，分别是的中点．(1)证明：平面平面；(2)求直线与所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，从而，平面，再证平面，可证平面平面；（2）为与所成角或其补角，由可求．【详解】（1）连接，∵分别是的中点，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又，∴，∵平面，平面，∴平面，∵分别是的中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）由（1）知，∴为与所成角或其补角，在中，，，所以，所以直线与所成角的正切值为．21．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)设向量，，求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知利用正弦定理得，化简再利用余弦定理即可得出；（2）由已知得，又，结合三角恒等变换得，利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理，得，∴，即，由余弦定理得，∵，∴；（2）∵，又，∴，∵，∴，∴当，即，时，取最小值．22．已知函数．(1)当时，求的值域；(2)当，时，设，且关于直线对称，当时，方程恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；(3)当，，时，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）令，应用辅助角公式及正弦函数性质求t的范围，再由与关系得到，代入原函数结合二次函数性质求值域即可.（2）由题设有求得，进而可得，把问题转化为在上有两个不等实根求参数范围.（3）由题设等量关系恒成立有，讨论结合方程组确定它们的值，即可求目标式的值.【详解】（1）由题设，，令，则，所以，故值域为.（2）由题设，，又关于对称，∴，∴，令，题设问题转化为在上有两个不等实根，即，解得.（3）当，，时，则，于是化为，即，所以.由已知条件，上式对任意恒成立，必有，若，由（1）知：，不满足（3）式，故，由（2）知：，故或，当时，则（1）、（3）矛盾，故，则，由（1）、（3）知：，综上，.【点睛】关键点点睛：（1）应用换元法，结合与关系将问题化为求二次函数的值域；（2）由正弦函数的性质及其对称轴有求参数b，进而求的解析式，再将问题化为求在给定区间上有两个不同实根.（3）根据等量关系恒成立得到三个方程同时成立，讨论参数取值判断方程能否同时成立即可.