2022-2023学年山东省枣庄市滕州市第一中学高一上学期期末测试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省枣庄市滕州市第一中学高一上学期期末测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求得集合、，由此求得.

【详解】，

，

所以.

故选：B

2．记，那么

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】,

,从而，

，

那么，

故选B．

3．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．

【详解】解：不等式，

，解得，

故不等式的解集为：，

则其一个充分不必要条件可以是，

故选：．

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

4．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.

【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，

，

因为，，即

又因为在是增函数，所以.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.

5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】将分离常数为，由，可得，且，，再结合基本不等式求解即可.

【详解】由，

又，所以，且，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为6.

故选：A.

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；由，可排除B.

【详解】函数，由，即且且，

故函数的定义域为，

由，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；

当时，，，所以，可排除C；

由，，，即，可排除B.

故选：A.

7．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)

A．∪(5，＋∞) B． ∪

C． ∪(5，7) D． ∪[5，7)

【答案】A

【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，

因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．

函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝loga5＜1，即a＞5.

若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤.

所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．故选A.

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接，

因为是的中点，

所以，

又，所以三点共线，

即，

又，

所以，

则，故，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．与为同一函数

B．已知为非零实数，且，则恒成立

C．若等式的左、右两边都有意义，则恒成立

D．函数有且仅有一个零点，在区间内

【答案】ABC

【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.

【详解】对于A，因为函数与的定义域相同，

对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；

对于B，因为a，b为非零实数，且，

所以，故选项B成立；

对于C，因为

，故选项C正确；

对于D，因为函数的零点个数等价于

与图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，

所以函数有两个零点，故选项D错误，

故选：ABC.

10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ）

A． B．

C．m的值可能是4 D．m的值可能是6

【答案】AD

【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，结合函数的单调性、奇偶性解不等式，求得的取值范围.

【详解】由题意可得，则．所以A选项正确.

的定义域为，

因为是偶函数，所以．

当时，单调递增．

因为是偶函数，所以当时，单调递减．

因为，所以，

所以，或，

解得或．所以D选项符合.

故选：AD

11．已知函数，下述正确的是（    ）

A．函数为偶函数

B．函数的最小正周期为

C．函数 在区间上的最大值为1

D．函数的单调递增区间为

【答案】ACD

【分析】对于A，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；

对于B，由函数的周期，求得函数的最小正周期；

对于C，由已知求得，根据正弦函数的性质可求得函数 在区间上的最大值；

对于D，由，求解即可得函数的单调递增区间.

【详解】解：因为，所以

对于A，，又，所以函数为偶函数，故A正确；

对于B，函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故B不正确；

对于C，当时，，所以，所以，

所以函数 在区间上的最大值为1，故C正确；

对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故D正确，

故选：ACD.

12．（多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】令转化为，采用数形结合法可求参数范围，结合选项即可求解.

【详解】令得，令，由画出图象得：

由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故ABC都符合.

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域为________.

【答案】

【解析】由题意得，解得即可.

【详解】由题意，要使函数有意义，则，即，

解得，

所以

所以函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.

14．已知函数，若实数满足，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据奇偶性定义可判断出为定义在上的偶函数，从而将所求不等式化为；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定在上单调递增，由偶函数性质可知在上单调递减，由此可得，解不等式即可求得结果.

【详解】的定义域为，，

为定义在上的偶函数，

；

当时，单调递增，在上单调递增；

又在上单调递减，在上单调递增，

图象关于轴对称，在上单调递减；

则由得：，即，解得：，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

15．已知函数，则的值为___________.

【答案】##5.25

【分析】根据函数满足即可求解.

【详解】因为,

所以

,

故答案为:.

16．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】首先求出，根据题意则有，解出即可.

【详解】当时，，

的图象在上恰有两个最大值点,

.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算

（2）计算.

【答案】（1）0；（2）3

【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；

（2）利用对数性质及运算法则求解.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．设，函数的最小正周期为，且．

(1)求和的值；

(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；

(3)若，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)作图见解析

(3)

【分析】（1）利用最小正周期和解即可；

（2）利用列表，描点画出图像即可；

（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.

【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴．

∵，

且，∴．

（2）由（1）知，列表如下：

在上的图像如图所示：

（3）∵，即，

∴，

则，

即．

∴的取值范围是

19．已知，不等式的解集是.

(1)求的解析式；

(2)不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；

(3)若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）结合根与系数关系求得，；

（2）根据不等式组的正整数解仅有2个，可得到，即可求解；

（3）对进行分类讨论，结合函数的单调性求得的取值范围.

【详解】（1）因为，不等式的解集是，

所以2，3是一元二次方程的两个实数根，

可得，解得，所以；

（2）不等式，即，

解得，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，

可得到，解得，则实数取值范围是，；

（3）因为对于任意，，不等式恒成立，所以，

当时，恒成立；

当时，函数在，上单调递减，所以只需满足，解得；

当时，函数在，上单调递增，所以只需满足（1），解得，

综上，的取值范围是.

20．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．

【答案】(1)增区间，；减区间，

(2)最大值为，；最小值为，

【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可；

（2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可.

【详解】（1），

令，，得，，

令，，得，，

故函数的单调递增区间为，；

单调递减区间为，；

（2）当时，，

所以当，即时，取得最大值，

当，即时，取得最小值．

21．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.

【主题一】【科学抗疫，新药研发】

(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：，）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

【主题二】【及时隔离，避免感染】

(2)为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．

【答案】(1)C

(2)当时，时总价最低；当时，时总价最低

【分析】（1）利用已知条件，求解指数不等式得答案．

（2）根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.

【详解】（1）解：由题意得，，

设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，

由，得，

故，．

该新药对病人有疗效的时长大约为．

故选：C．

（2）解：由题意，正面长为米，故总造价，即.

由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.

故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；

综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.

22．已知函数，，当时，恒有．

（1）求的表达式及定义域；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；

（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.

（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程

的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.

【详解】（1）∵当时，．

，

即，

即，．

整理得恒成立，∴，

又，即，从而．

∴，

∵，∴，或，

∴的定义域为．

（2）方程有解，即，

∴，∴，∴，

∴，或，

解得或，

∴实数的取值范围．

（3）方程的解集为，

∴，∴，

∴，

方程的解集为，故有两种情况：

①方程无解，即，得，

②方程有解，

两根均在内，，

则解得．

综合①②得实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.