2022-2023学年上海市闵行中学东校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市闵行中学东校高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知，，则_______.

【答案】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为集合，，因此，.

故答案为：.

2．“且”的否定形式为________.

【答案】或

【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.

【详解】原命题的否定形式为：或，

故答案为：或.

3．若实数、、满足，，则与的大小关系是______.

【答案】＞

【分析】一般利用作差比较法解答.

【详解】由题得，

所以a＞b.

故答案为＞

【点睛】本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

4．已知，则____.

【答案】

【解析】利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得的值.

【详解】，，因此，.

故答案为：.

5．函数的图象恒过定点________.

【答案】

【分析】根据过定点可得函数的图象必过定点.

【详解】因为，，

所以，当时，总有，

∴必过点，

故答案为：．

6．已知，则的最小值是___________.

【答案】2+22##22+2

【分析】首先利用配凑法，将原式配成积为定值的形式，再结合基本不等式以及的范围，即可求解.

【详解】由，知0

则

当且仅当时，即，等号成立.

故答案为：

7．若幂函数在上严格减，则________.

【答案】

【分析】根据幂函数得到，解方程再验证单调性得到答案.

【详解】由是幂函数，则，解得或.

当时，，函数在上严格增，不满足；

当时，，函数在上严格减，满足；

综上所述：

故答案为：

8．已知，则________.

【答案】

【分析】欲求的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的x的值即可．

【详解】令得：⇒，

∴．

故答案为：．

9．关于的不等式的解集为 _______.

【答案】

【分析】构造函数，根据其单调性解不等式即可.

【详解】函数，单调递增，

解之：

故答案为：

10．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案.

【详解】函数在上为严格减函数，则，

解得.

故答案为：

11．设是定义在R上的奇函数，且当时，. 若函数的值域为R，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由于函数是R上的奇函数，所以要使函数的值域为R，只要当时，的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a的取值范围

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，

所以要使的值域为R，则当时，能取到所有正数即可,所以，解得，

又因为是定义在R上的奇函数，所以在上可以取到所有的负实数，

又,故函数的值域为R，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：

12．已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出的取值范围．

【详解】因为函数与的图象关于y轴对称，

所以,

因为为函数的“不动区间”，

所以函数和函数在区间上的单调性相同,

又因为和的单调性相反，

所以在上恒成立，

而在时，，

所以在上恒成立，所以，

故答案为：.

【点睛】已知函数单调性求参数的范围的常用方法，

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．

二、单选题

13．已知实数，下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性、特殊值、差比较法确定正确答案.

【详解】依题意，

A选项，在上递增，所以，所以A选项正确.

B选项，，满足，但，所以B选项错误.

C选项，，其中，但的符号无法确定，所以C选项错误.

D选项，，满足，但，所以D选项错误.

故选：A

14．下列函数中，值域为的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.

【详解】对于A，因为函数的定义域为，值域为，不是

所以选项A不符合题意；

对于B，因为函数的定义域为或

所以值域为，不是，选项B不符合题意.

对于C，因为函数的定义域为，则，

所以则值域为，不是，所以选项C不符合题意；

对于D，因为函数的定义域为关于原点对称，且 ，

所以函数为偶函数，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

即函数值域为，所以选项D符合题意.

故选：D

15．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.

【详解】在上单调递增，

，

所以的零点在区间.

故选：B

16．设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.

【详解】根据题意，设，则，

所以，

因为是定义在上的奇函数，

所以，

所以，

即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增；

当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减；

所以函数在上单调递减，

若，即，又由，且，必有时，，

解得：，所以不等式的解集为.

故选：.

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：

（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；

（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.

三、解答题

17．已知函数的定义域为，不等式的解集为.

(1)求集合、；

(2)已知全集，求.

【答案】(1)或，

(2)

【分析】（1）根据函数的定义域的求法、不等式的解法求得.

（2）根据补集和交集的知识求得.

【详解】（1）由解得或，所以或，

，所以.

（2）由（1）得，

所以.

18．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值.

【答案】

【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，，和四种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值.

【详解】，对称轴为，开口向上，

当时，在上单调递增，

故当时，取得最大值，，解得：，满足，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

且，所以当时，取得最大值，

由，解得：，与矛盾，舍去；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

且，所以当时，取得最大值，

由，解得：，与矛盾，舍去；

当时，在上单调递减，

故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去；

综上：.

19．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求实数的值；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解；

(2)结合（1）的结论和指数函数的值域即可求解.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，

即，解得：，此时，

故对于任意的，有，

即函数是上的奇函数，所以实数的值为.

（2）由（1）可知：，

因为，所以，则，，

所以，故函数的值域为.

20．设，函数．

(1)若，求函数在区间上的最大值；

(2)若，写出函数的单调区间（不必证明）；

(3)若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)9

(2)单调递增区间为和，单调递减区间为

(3)

【分析】（1）当时，，结合去绝对值求每段区间上的最值即可；

（2）采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图象，判断函数增减区间即可；

（3），分析二次函数的对称轴与的大小关系，确定的单调性，画出函数图象，数形结合得出关于参数的不等式求解即可.

【详解】（1）当，时，，

当时，函数为增函数，；

当时，函数为增函数，；

所以函数在区间上的最大值为9.

（2）当时，，

当时，函数对称轴为，所以当时，单调递增；

当时，函数对称轴为，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

综上所述，当和时，函数单调递增，当时，函数单调递减；

（3）当时，

函数的对称轴，所以函数在时单调递增，

函数的对称轴，则在时，单调递增，在时，单调递减，

函数图象如图所示:

要使有三个不相等的实数根，即应介于如图所示两虚线范围之间，

而，，

即，

 化简得，即存在，使得上式成立.

只需.

令，设，

则，

由得，，故，所以，

所以在为增函数，所以当时， ，

故，故

21．如果存在非零常数，对函数定义域内的任意，都有成立，则称函数为“Z函数”.

(1)判断和是否为“Z函数”，并说明理由；

(2)证明：定义域为的严格单调函数一定是“Z函数”；

(3)高斯函数是为“Z函数”，求正实数的最小值，并证明.（表示不超过的最大整数）

【答案】(1)是“Z函数”； 不是“Z函数”，理由见解析

(2)证明见解析

(3)，证明见解析

【分析】（1）根据“Z函数”的定义得到恒成立，考虑和两种情况，得到结果；，不等式不恒成立，得到答案.

（2）考虑函数为增函数和减函数两种情况，根据“Z函数”定义得到证明.

（3）首先举反例排除的情况，再证明时，函数是“Z函数”，得到最小值.

【详解】（1）假设是“Z函数”，则，即，

即恒成立，

当时，，，，故，

当时，，，不恒成立，排除.

综上所述：存在使恒成立，故是“Z函数”；

假设是“Z函数”，则，即，即，

即，不等式不恒成立，故不是“Z函数”，

（2）若是单调增函数，当时，都有，故函数为“Z函数”；

若是单调减函数，当时，都有，故函数为“Z函数”；

综上所述：定义域为的严格单调函数一定是“Z函数”；

（3）高斯函数为“Z函数”，则，

当时，取，则，，不成立，故，

现证明时成立：

设，，则，，故，

即恒成立，故函数是“Z函数”，即正实数的最小值为