2022-2023学年山西省太原市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列选项中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先表示出与终边相同的角，再根据选项判断即可.

【详解】解：与角终边相同的角表示为，

当时，故与角终边相同.

故选：D

2．在直角坐标系中，，，则角的终边与单位圆的交点坐标为（　　）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数定义，即可求得答案.

【详解】在直角坐标系中，，，

设角的终边与单位圆的交点坐标为，

则 ，

即角的终边与单位圆的交点坐标为，

故选：A

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：函数在上单调递减，

又，，，

所以，则有唯一零点，且在区间内.

故选：C

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由，得到，再利用诱导公式求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

，

故选：D

5．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”

则在上述两种解答过程中（    ）A．甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B．乙同学解答正确，甲同学解答不正确

C．甲、乙两同学解答都正确 D．甲、乙两同学解答都不正确

【答案】D

【分析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.

【详解】解：对于甲同学，

由，得，

因为因为，

所以，

所以，故甲同学解答过程错误；

对于乙同学，

因为，

所以，故乙同学解答过程错误.

故选：D.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：B.

7．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】对于A，函数的最小正周期，

因为，所以，

所以函数在区间上单调递减，故A符合题意；

对于B，函数函数的最小正周期，

因为，所以，

所以函数在区间上不单调，故B不符题意；

对于C，函数的最小正周期，故C不符题意；

对于D，函数的最小正周期，

当时，函数为增函数，故D不符题意.

故选：A.

8．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：

如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为元.若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为（    ）A．170立方米              B．200立方米              C．230立方米              D．250立方米

【答案】C

【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.

【详解】若该用户全年用水量为260，

则应缴纳元，

所以该户家庭的全年用水量少于260，

设该户家庭的全年用水量为x，

则应缴纳元，

解得.

故选：C

二、多选题

9．要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（    ）

A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位

B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位

C．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

D．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

【答案】BC

【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.

【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位；

或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.

故选：BC.

10．计算下列各式，结果为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.

【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；

对于选项B，，故选项B错误；

对于选项C，，故选项C错误；

对于选项D，，故选项D正确.

故选：AD.

11．下列函数中最小值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据二次函数的性质判断A，根据对勾函数及三角函数的性质判断B，根据对数函数的性质判断C、D.

【详解】对于A：，所以当时，故A正确；

对于B：，则，又函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时取得最小值，故B错误；

对于C：因为且在上单调递增，所以，故C正确；

对于D：，当时，则，故D错误；

故选：AC

12．已知定义在上的函数，设，，为三个互不相等的实数，且满足，则的可能取值为（    ）

A．15 B．26 C．32 D．41

【答案】BC

【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．

【详解】解：作出的图像如图：

当时，由，得，

若，，互不相等，不妨设，

因为，

所以由图像可知，，

由，得，

即，即，

则，所以，

因为，

所以，

即，

所以的取值范围是．

故选：BC．

三、填空题

13．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】由解出即可.

【详解】由，

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

14．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．

【答案】2

【分析】利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】，扇形AOB的面积为，

所以，解得．

故答案为：2

15．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，.已知，.则______.

【答案】1

【分析】先指数式对数式转化，结合对数运算性质化简求值.

【详解】由，得，

∴.

故答案为：1

16．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和为______.

【答案】

【分析】依题意设，由求出的值，设，则，判断的奇偶性，根据奇偶性的性质计算可得.

【详解】解：根据题意，设，

若，，有，则有，变形可得，

即，

设，则，

则有，

函数，设，

则，

必有，

则函数为奇函数，在区间上，其最大值与最小值之和是，

而，则其最大值与最小值之和是.

故答案为：．

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)3.

(2).

【分析】（1）运用对数运算公式及，，，计算可得结果；

（2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平方关系计算可得；

（2）利用诱导公式化简，再代入计算可得.

【详解】（1）解：因为，且，所以，

又，所以.

（2）解：

.

19．如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.

(1)求的值；

(2)射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据角的终边与单位圆交于点，，利用三角函数的定义，结合平方关系求解；

（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，设，求得，再利用二倍角的正切公式求解.

【详解】（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点，，

所以.

（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，

设，则，

所以，

所以.

20．说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.

（A）已知函数.

(1)若，求的值；

(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（B）已知函数.

(3)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(4)若对于恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1).

(2)为奇函数，证明见解析.

(3)为奇函数，证明见解析.

(4).

【分析】（1）解对数型函数方程即可.

（2）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.

（3）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.

（4）根据题意问题转化为.运用分离常数法研究分式函数的单调性，再运用复合函数单调性判断方法得的单调性，应用的单调性求得，进而求得m的范围.

【详解】（1）由题意知，，即：，解得：.

（2）为奇函数.

证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，

又因为，

即，所以为奇函数.

（3）为奇函数.

证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，

又因为，

即，所以为奇函数.

（4）因为对于恒成立，

所以.

设，则，

又因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即：实数m的取值范围为.

21．已知函数的最小正周期为，再从下列①②两个条件中选择一个作为已知条件：

①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称.

(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；

(2)在（1）的条件下，求的单调递增区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，利用整体思想，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；

（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调增区间，建立不等式，可得答案.

【详解】（1）若选①：

因为函数的最小正周期为，所以，解得，

因为的图象关于点对称，所以，解得，

由，则，故.

若选②：

因为函数的最小正周期为，所以，解得，

因为的图象关于直线对称，所以，则，

由，则，故.

（2）由（1）可知，令，

解得，故函数的单调增区间为.

22．已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件：

①；②的最小正周期为；③的图像经过点．

(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；

(2)在（1）的条件下，求的单调递增区间．

【答案】(1)条件选择见详解，

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，

选择①②，由可求得的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出的解析式；

选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由可求得的值，进而得出的解析式；

选择①③，由可求得的值，再由结合可求得的值，进而可得的解析式；

（2）解不等式可得出函数的单调递增区间．

【详解】（1）依题意有

，

选择①②，

因为，所以，

又因为的最小正周期为，所以，

所以；

选择②③，

因为的最小正周期为，所以，所以，

又因为， 所以，

所以；

若选择①③，

因为，所以，所以，

又因为，所以，

所以，又，所以，

所以．

（2）依题意，令，

解得，

所以的单调递增区间．