2022-2023学年山东省东营市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省东营市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】，解得或，

所以，

而，所以.

故选：A

2．十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.

【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，

所以中位数众数为17，

，所以第一四分位数为第三个数，即14，

所以，

故选:B.

3．已知函数的定义域为，则“”是“是奇函数”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.

【详解】若，则，此时为偶函数，充分性不成立；

若为奇函数，且其定义域为，则恒成立，必要性成立；

函数的定义域为，则“”是“是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

4．如图是函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A． B．的定义域为

C．的值域为 D．若，则或2

【答案】C

【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．

【详解】解：由图象知正确，

函数的定义域为，正确，

函数的最小值为，即函数的值域为，，故错误，

若，则或2，故正确

故选：．

5．世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.

【详解】因为.6644，所以.

故选：C

6．方程的根所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】构造函数，则函数为上的增函数，

，，则，

因此，方程的根所在的区间为.

故选：B.

7．已知偶函数在上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.

【详解】因为偶函数在上单调递减，

所以在上单调递增，

又因为2是它的一个零点，所以，所以，

所以当时，

所以由可得解得，

故选:A.

8．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，判断出的奇偶性、单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】设，由于是定义在上的奇函数，

所以，所以是定义在上的偶函数.

任取，，则：

，，

所以在上递增，则在上递减.

，，

对于不等式，

当时，有，即；

当时，由，即，

综上所述，不等式的解集为.

故选：A

二、多选题

9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，则下列结论正确的是（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.

【详解】数据的平均数为，

新数据的平均数为

，故A错误；

若数据的中位数为，

则新数据的中位数为，故B错误；

数据的标准差为

，

新数据的标准差为

，故C正确；

若数据中的最大数为最小数为，则极差为，

则数据的极差为，故D正确，

故选：CD.

10．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】应用特殊值，判断A、C，根据，的单调性判断B、D.

【详解】当时，则，而，又，

∴A，C不正确；

∵，都是上单调递增函数，

∴B，D是正确的.

故选：BD.

11．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程有且仅有一个不为和的解、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由此可解得所有可能的值.

【详解】由已知方程得：，解得：且；

由得：；

若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：

①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，

此时的解为，满足题意；

②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；

由得：，，此时方程另一根为，满足题意；

③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；

由得：，，此时方程另一根为，满足题意；

综上所述：或或.

故选：ABD.

12．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．在R上单调递增

C．当时，

D．函数的图像关于点成中心对称

【答案】ABC

【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，即，A选项正确.

B选项，，

由于在上递减，所以在上递增，B选项正确.

C选项，当时，，

所以，即，

所以，C选项正确.

D选项，，D选项错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知幂函数的图像经过点，则_________．

【答案】

【分析】根据幂函数的的知识求得，然后根据反函数的知识求得正确答案.

【详解】依题意，幂函数的图像经过点，

所以，所以，

令，解得，交换得，

所以

故答案为：

14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为，则A与B同时发生的概率的最大值为______.

【答案】##0.25

【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.

【详解】因为事件A与B同时发生的概率为，

所以当时，最大值为.

故答案为：

15．已知函数，且，写出函数的一个解析式：________．

【答案】

【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.

【详解】因为，

所以，

即，所以函数的一个解析式为，

故答案为: .

16．已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，求得，由此求得的取值范围.

【详解】，

当时，方程有个不相等的实数根，在上递增，

所以时，有个根，

且时，有个根，

所以，解得.

由于，则，

所以

，

，

，，

.

当时，当时，方程的判别式，

所以此时不符合题意.

当时，，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.

四、解答题

17．求解下列问题：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.

（2）根据对数运算求得正确答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五组，并整理得到如下频率分布直方图：

已知甲测试成绩的中位数为75.

（1）求，的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；

（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.

【答案】（1）；；甲的平均分为，乙的平均分为；（2）.

【解析】（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由，求得y,再利用各矩形的面积的和为1，求得x,然后利用平均数公式求解.

（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.

【详解】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，

∴，

解得.

∴，

解得.

同学甲的平均分为.

同学乙的平均分为.

（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为，设为，.乙测试成绩不足60分的试卷数为，设为，，.

从中抽3份的情况有，，，，，，，，，，共10种情况.

满足条件的有，，，，，，共6种情况，

故恰有2份来自乙的概率为.

19．已知关于x的不等式的解集为或（）.

(1)求a，b的值；

(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a是方程的两个实数根且，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；

（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得，从而解一元二次不等式即可得答案.

【详解】（1）解：因为不等式的解集为或（），

所以1和a是方程的两个实数根且，

所以，解得；

（2）解：由（1）知，且，，

所以，当且仅当，即时等号成立，

依题意有，即，

所以，解得，

所以k的取值范围为.

20．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.

（1）求乙获胜的概率；

（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；

（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.

【详解】（1）记“乙获胜”为事件C，记甲第次投篮投进为事件，乙第次投篮投进为事件

由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

.

21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）

【答案】(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论；

（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．

【详解】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），

代入，得，解得．

，

当时，，符合题意；

当时，令，解得，

．

综上，．

故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

（2）由题意得，，

当时，为增函数，

，等号当且仅当时成立；

当时，

．

当且仅当，即，时成立，

综上，的最大值约为3250，此时约为87．

故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

22．函数．

(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)当时，若的值域为R，求实数a的值；

(3)在（2）条件下，为定义域为R的奇函数，且时，，对任意的，解关于x的不等式．

【答案】(1)；

(2)；

(3)答案详见解析.

【分析】（1）由恒成立分离常数，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；

（2）令，结合的值域包含列不等式，由此求得正确答案；

（3）先求得的解析式，由此化简不等式.对进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】（1）由题恒成立，则恒成立，

由于，所以，

所以；

（2）令，则的值域包含，

因为，

所以，即,

又因为，

所以；

（3）当时，；若，，，

又因为为定义域为的奇函数，

所以当时，，

所以，，

不等式等价于，

由于在上是单调递增函数，

所以原不等式等价于，即：，

当时，解集为且或；

当时，解集为；

当时，解集为且或；

当时，解集为或.

【点睛】根据函数的奇偶性求函数的解析式要注意的地方有：1.如果函数的定义域为，则对于奇函数来说，必有，偶函数则不一定；2.当时，（或当时，），需要代入对应范围的解析式，结合或来求得函数的解析式.