2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由定义判断各选项函数的奇偶性和单调性，即可得出结论.

【详解】选项A：是奇函数，在定义域内不是减函数；

选项B：是奇函数，在定义域内不是减函数；

选项C：是奇函数也是减函数，正确；

选项D：是奇函数，在定义域内不是减函数.

故选：C.

2．已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.

【详解】因为点是角α的终边与单位圆的交点，

所以，

故选：B

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的解析式，计算出、的值，即可得解.

【详解】由题意可得，，

因此，.

故选：C.

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果.

【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为.

故选:D．

5．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）

A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

【答案】C

【分析】设函数，将选项中区间端点的函数值代入，再利用零点存在性定理，即可得答案；

【详解】设函数，

，，

，又在区间(1，2)连续，

函数在区间(1，2)存在零点，

方程根所在的区间为(1，2)，

故选：C.

【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，考查对概念的理解，属于基础题.

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得的定义域，然后结合求得的定义域.

【详解】函数的定义域为，即，则，

所以对于，有，解得，即的定义域为；

由解得，

所以的定义域为.

故选：A

7．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（    ）

A． B．0 C．2 D．50

【答案】C

【分析】利用奇函数的性质及，推出函数的周期为4，然后得出得出结果．

【详解】由函数是定义域为的奇函数，则，

，，

，所以函数是周期函数，且周期为4，

，，则，

，，

故选：C

8．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据图形特征求得，从而，再求出扇形ABC的面积，最后根据“莱洛三角形”面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可.

【详解】解：由题意可知等边三角形的边长为4，即,

所以扇形ABC的面积等于以A为圆心，为半径的圆的面积的，

故扇形ABC的面积，

又，

该“莱洛三角形”的面积为.

故选：A.

二、多选题

9．函数的一条对称轴方程为，则可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由称轴方程为,可得，从而可求出的值.

【详解】解：因为函数的一条对称轴方程为，

所以，解得，

所以当时，，

当时，，

当时，，

故选：BD

【点睛】此题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题.

10．下列命题错误的有（    ）

A．， B．若，，则

C．不等式的解集为 D．是的充分不必要条件

【答案】AC

【分析】对于A，由可判断；

对于B，根据不等式的性质可判断；

对于C，由一元二次不等式的解法可判断；

对于D，根据一元二次不等式的解法和充分必要条件的定义可判断.

【详解】解：对于A，，，故A错误；

对于B，若，则，又，所以，故B正确；

对于C，由得，即，解得或，故C错误；

对于D，当时，；当时，或，所以是的充分不必要条件，故D正确，

故选：AC.

11．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的定义域为R

B．函数的值域为

C．函数的图象关于y轴对称

D．函数在R上为增函数

【答案】ABD

【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；

B：，

由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；

C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；

D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，

因此函数是增函数，所以本选项结论正确，

故选：ABD

12．已知，令，则下列结论正确的有（    ）

A．若有个零点，则 B．恒成立

C．若有个零点，则 D．若有个零点，则

【答案】AD

【分析】作出的图象，将的零点个数转化为函数与的图象的交点的个数，结合图象逐一判断即可.

【详解】解：，

作出的图象，如图所示：

因为，

所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数，

对于：若有个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故正确；

对于：由图象得恒成立，故B错误；

对于：若有个零点，则函数与的图象有三个公共点，由图象得或者，故C错误；

对于：若有个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确.

故选：．

三、填空题

13．__．

【答案】

【分析】由已知结合二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】．

故答案为：．

14．已知正实数，满足，则的最小值是___________.

【答案】4

【分析】根据基本不等式直接可求得答案.

【详解】正实数，满足，则,

当且仅当即时，取得等号，

故答案为：4

15．已知幂函数为奇函数，则___________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义，结合奇函数的定义进行求解即可.

【详解】因为是幂函数，

所以，或，

当时，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意；

当时，，因为，所以函数是奇函数，符合题意，

故答案为：

16．若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，所有满足“倒负”变换的函数序号是___________．

①；②；③；④．

【答案】④

【分析】求得的解析式，再与的解析式进行比较即可得到满足“倒负”变换的函数

【详解】①，不符合要求；

②，不符合要求；

③，不符合要求；

④，符合要求

故答案为：④

四、解答题

17．计算：（1）；

（2）.

【答案】（1）4；（2）2

【解析】（1）利用根式和指数幂的运算求解.

（2）利用对数的运算法则求解.

【详解】（1），

，

.

（2）,

,

.

18．已知.

(1)化简；

(2)若是第四象限角，且，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据诱导公式进行求解即可；

（2）根据同角三角函数关系式进行求解即可.

【详解】（1）

（2）因为是第四象限角，且，.

因此，.

19．已知集合，或．

(1)当时，求，；

(2)若选          ，求实数的取值范围．

从①；②；③是的充分不必要条件，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．

【答案】(1)或，

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）解一元二次不等式，可得集合，利用集合交并补集的概念求得，；（2）三个条件中任选一个，可得是的真子集，从而列对应不等式求解即可.

【详解】（1），

当时，或．

所以或．

，所以

（2）因为，或.

由①或②或③，所以是的真子集．

所以或

解得或

即实数的取值范围为

20．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求的最大值和对应的取值；

(3)求在的单调递增区间.

【答案】(1)；

(2)当时，函数有最大值；

(3).

【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；

（2）根据正弦函数的图象和性质即得；

（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.

【详解】（1）因为函数，

所以的最小正周期为；

（2）因为，

由，可得，

当时，函数有最大值；

（3）由，可得，

又，

函数的单增区间为.

21．已知函数的图象经过和.

（1）若，求x的取值范围；

（2）若函数，求的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据函数图象经过和，由求得a，b，然后利用对数函数的单调性求解.

（2）由（1）得到，然后分和求解.

【详解】（1）因为函数的图象经过和，

所以，

解得，

，

解得，

所以x的取值范围；

（2）由（1）知：，

所以，

当时，，

当时，

所以的值域为.

【点睛】结论点睛：分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

22．已知函数，的图象过点(1，0)，且为偶函数.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由偶函数的定义，可得的图象关于直线对称，由二次函数的对称轴方程和（1），解得，，可得的解析式；

（2）令，由对数函数的单调性可得的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．

【详解】（1）因为为二次函数，且为偶函数，

可得，

所以的图象的对称轴方程为，

又的图象过点，

故，

解得，

所以；

（2）令，

由，，则，，

不等式，即，

可得在，上恒成立，

因为函数在，上单调递增，

易得当时，，即为最大值，

故的取值范围是，.