2022-2023学年四川省绵阳南山中学高一下学期入学考试数学试题（解析版）

绵阳南山中学2023年春2022级高一下入学考试试题

数学

命题人：雍华  张韬    审题人：任晖  苗凤琼

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 如果全集，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定集合U，然后求解补集即可.

【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2. 用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（    ）

A.  B.  C.  D. 不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解.

【详解】由于 均为定义域内的单调递增函数，故在单调递增，

故存在，使得 ，

故选：B

3. 一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】画出图形解直角三角形即可．

【详解】

如图设，，过点作，为垂足，

并延长交弧于，则，．

中，，

从而弧长为，

故选：．

4. 函数（），则﹐则a=（      ）

A. 4 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意先求出，再求，解方程即可得出答案.

【详解】因为时，，

所以，则，

解得：.

故选：A.

5. 防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（      ）

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40

【答案】A

【解析】

【分析】根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.

【详解】因为，，

所以，即，

所以，由于，故，

所以，

所以，解得.

故选：A.

6. 已知则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数的诱导公式，化简得，代入即可求解，得到答案.

【详解】由三角函数的诱导公式，

可得，

又，所以.

故选：C.

7. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可

【详解】因为，

，

，

所以，

故选：D.

8. 函数的图象大致形状为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；

【详解】解：因为，定义域为，且

所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；

又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；

故选：A

二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下列函数中，在定义域内是奇函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据奇函数的定义逐项分析判断.

【详解】对A：的定义域为，则为非奇非偶函数，A错误；

对B：的定义域为，且，故为奇函数，B正确；

对C：，故不是奇函数，C错误；

对D：的定义域为，且，故为奇函数，D正确.

故选：BD.

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 命题“，”的否定为“，”

B. 对于命题：“，”则为“，”

C. “”是“”的必要不充分条件

D. “”是“对恒成立”充分不必要条件

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定的规则判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D.

【详解】解：对于A：命题“，”的否定为“，”，故A正确；

对于B：命题：“，”则为“，”，故B错误；

对于C：由推不出，当时，故充分性不成立，

由，则，所以，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对于D：当时，当且仅当，即时取等号，

因为，所以，因为对恒成立，所以，

因为，所以“”是“对恒成立”的充分不必要条件，故D正确；

故选：ACD

11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ）

A. 的值域为

B. 的定义域为

C.

D. 任意一个非零有理数， 对任意恒成立

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.

【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；

因为函数，所以的定义城为，故B正确；

因为，所以，故C正确；

对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，

故选：BCD.

12. 已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】作出函数与的图象，数形结合可判断A选项；求出，，利用基本不等式可判断B选项，利用双勾函数的单调性可判断D选项；利用二次函数的对称性可求得的值，可判断C选项的正误.

【详解】在同一个坐标系内作出和的图象，如下图所示：

要使方程有四个不同根，只需，故A错误；

对于B，由图可知，

由可得，所以，，即，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，故B对；

对于C，由图可知，点与点关于直线对称，则，

所以，，故C对；

对于D，由得：，

令，其中，任取、且，

则，

因为，则，，故，

即函数在上单调递增，因为，则，故D对.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上．）

13. 幂函数的图像经过点，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

设幂函数，由条件求，再求的值.

【详解】设幂函数，

图像经过点，

，，

，

.

故答案为：3

【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.

14. 计算的值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由对数的运算性质求解，

【详解】原式，

故答案为：

15. 已知函数，若，则x的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数解析式得出其定义域关于原点对称，并得到，即为偶函数，根据复合函数单调性与单调性加减的变化结合偶函数性质得出函数在上单调递增，在上单调递减，即可根据单调性结合偶函数性质解不等式得出答案.

【详解】，定义域为，

，定义域关于原点对称，

则为偶函数，

当时，单调递增，单调递增，则单调递增，也单调递增，

则在上单调递增，

根据偶函数的性质得在上单调递减，

当时，，根据单调性得，

当时，，根据单调性得，

故答案为：.

16. 已知函数，在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.

【详解】因为函数在R上是减函数，

根据题意：，解得.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知全集，集合，．

（1）当时，求；

（2）如果，求实数的取值范围．

【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}   

（2）（﹣∞，2）

【解析】

【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果；

(2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.

【小问1详解】

A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}.

∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.

∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.

小问2详解】

∵A∪B＝A，∴B⊆A.

①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1

②B≠∅时，，解得1≤m＜2.

综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）

18. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.

（1）求的值；

（2）求的值

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而可求正切，

（2）由诱导公式化简，代入即可求解.

【小问1详解】

由三角函数定义得，

两边平方解得，又，故 ，

∴ ．即．

【小问2详解】

，

由（1）得．原式

19. 在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投人生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．

（1）求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；

（2）问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．

【答案】（1）   

（2）生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．

【解析】

【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本可得利用函数；

（2）根据利用函数，一段由二次函数性质得最大值，一段用基本不等式得最大值，再比较可得．

【小问1详解】

因为

所以

【小问2详解】

时，，时，最大值，

时，，当且仅当，即时等号成立．

综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．

20. 已知函数．

（1）判定函数在上的单调性并用定义证明；

（2）若函数在内有零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）增函数，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）增函数，利用单调性的定义证明即可；

（2）由题意知得，转化为函数与在上图象有交点，由（1）可知函数在上为增函数，是R上的偶函数，可得，可得答案.

【小问1详解】

为增函数，证明如下，

证明：设，，且，

，

∵，∴，，，

∴，即，

∴函数f(x)在上为增函数；

【小问2详解】

由题意知，方程，得，

若方程在内有根，

则函数与在上图象有交点，

由（1）可知，函数，在上为增函数，

又知函数是R上的偶函数，

则在上，，

∴m的取值范围为．

21. 已知二次函数的图象过原点和点，且满足．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数（，且），若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设函数，当满足时，函数关于对称，再由函数过的点，代入，利用待定系数法可求得函数的解析式；

（2）根据题意可知，分别求两个函数的的最大值，求解不等式即得.

【小问1详解】

由题可设，

，

所以的对称轴方程为，

又函数的图象经过点，

所以，两式联立，解得，，

所以；

【小问2详解】

由题意可知，

因为，，

所以在单调递增，单调递减，

当时，，

∵在上单调递增，当时，单调递减，

∴函数在上单调递减，

∴，适合题意；

当时，单调递增，

∴函数在上单调递增，

∴，则，

解得；

综上所述，实数的取值范围为.

22. 已知函数，．

（1）若为奇函数，求实数a的值；

（2）若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）由为奇函数，则，即可求出实数a的值；

（2）求出在区间的单调性，得到函数的最大值和最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解.

【小问1详解】

∵是奇函数，，

∴，即，

即，∴．

小问2详解】

，

在区间上单调递减，为增函数，

所以函数在区间上单调递减，

由题意得

即，即，

即，．

令，．

∵，∴．

∴函数在上递增，

当时，y有最小值，

∴实数a的取值范围是．