2022-2023学年新疆乌鲁木齐第七十中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐第七十中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合、，根据交集的运算即可求出答案.

【详解】解可得，所以.

又，

所以

故选：A.

2．下列函数中与是同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出已知函数的定义域，然后根据判断两函数是同一函数的标准，即定义域相同，对应法则相同，对各个选项逐个化简判断即可求解．

【详解】函数的定义域为，

，所以与已知函数的解析式不同，故A错误，

定义域为，与已知函数的定义域不同，故B错误，

定义域为，与已知函数的定义域不同，故C错误，

，且定义域为R，与已知函数是同一函数，故D正确，

故选：D．

3．已知函数，若，则值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【分析】分别根据以及时的解析式，列出方程，求解方程即可得出答案.

【详解】因为.

当时，，解，可得或（舍去；

当时，，解，可得.

综上所述，或.

故选：C．

4．设，则“”是“”的（    ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由且且，

故选：A．

5．三个数 之间的大小关系是（       ）

A．. B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.

【详解】解：，则，

，则，

，则，所以.

故选：B.

6．函数与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析两个函数的定义域与单调性，可得出合适的选项.

【详解】函数为上的减函数，排除AB选项，

函数的定义域为，

内层函数为减函数，外层函数为增函数，

故函数为上的减函数，排除D选项.

故选：C.

7．已知，且，若有解，则实数的取值范围时（    ）

A．，， B．，，

C． D．，

【答案】A

【分析】由已知先利用基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．

【详解】因为、，且，

，

当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，

若有解，则，解得或，

即实数的取值范围为，，．

故选：．

8．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.

【详解】因为当时，函数为单调递增函数，

又函数在上是单调函数，则需满足，解得，

所以实数的范围为，

所以满足范围的选项是选项B.

故选：B．

9．设函数是定义域在上的偶函数，且在上递减，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，则.由已知可得出在上递减，根据与的关系，即可得出大小关系.

【详解】令，则.

且是定义域在上的偶函数，在上递减.

所以，，.

由在上递减，可得，

即.

故选：C．

10．已知函数在区间上的最小值为，则函数在区间上的最大值为（    ）

A．10 B．26 C． D．与有关

【答案】B

【分析】依题意，可得在区间，区间上均为单调函数，利用奇函数在区间上的最小值为，可求得在区间上的最大值，进而可得答案．

【详解】，与单调性相同，

在区间，区间上均为单调函数，

又，满足，即为奇函数，

在区间上的最小值为，

在区间上的最小值为，

在区间上的最大值为18，

函数在区间上的最大值为.

故选：B

11．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得和2是方程的两个根，且，再利用韦达定理求出，代入所求不等式求解即可．

【详解】关于的不等式的解集为，

和2是方程的两个根，且，

，解得，

不等式可化为，即，

转化为，且，

解得，

即不等式的解集为．

故选：B．

12．已知二次函数，若函数的值域是，且

，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质可得，且，又因为（1），所以，再结合基本不等式求解即可．

【详解】解：二次函数的值域是，

，解得，且，

又，，，

由，，可得，

即的取值范围是．

故选：B．

二、填空题

13．已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．

【答案】3

【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．

【详解】由题意是幂函数，

，解得或，

又是R上的增函数,则 .

故答案为：3.

【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．

14．函数且恒过定点，__．

【答案】

【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解．

【详解】令可得，

此时有.

由题意可得，，

所以，，

所以．

故答案为：．

15．若函数的值域是，则实数的取值范围是 __．

【答案】

【分析】先根据基本不等式求出时的取值范围，然后根据的范围得出在上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.

【详解】因为函数.

当时，有，当且仅当时等号成立.

当，即时，有，不满足题意；

当，即时，在上单调递减，有，不满足题意；

当，即时，在上单调递增，有.

要使的值域是，则应有，所以.

综上所述，当时，的值域是.

故答案为：.

16．已知函数，若存在实数，，，，有，则的范围是__．

【答案】

【分析】画出函数的图象，，结合图象可得.然后求解即可推出.进而得出的范围，即可．

【详解】作出函数的大致图象如图：

当时，，解得，

令.

由图象可知，当时，满足题意.且，.

又由知，，

所以，即.

所以.

由，可得，所以.

故答案为：．

三、解答题

17．已知全集，集合，集合.

(1)求，；

(2)求.

【答案】(1) ，

(2)或

【分析】（1）解一元一次方程、指数不等式求集合A、B，再根据集合的交、并运算求，.

（2）由集合补运算求，再由集合并运算求即可.

【详解】（1）由题意得，，

∴ ，；

（2）由（1）知：或

∴或.

18．化简求值：

(1);

(2)

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；

（2）根据对数的运算性质可求出结果.

【详解】（1）原式= =

 ==.

（2）原式=

.

19．

(1)当时，解关于的不等式；

(2)已知，，当时，证明：，并指出取等号条件．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）先解出的两个根，对根的大小分类讨论，再结合一元二次不等式的解法，即可求解；

（2）根据“1”的代换，结合基本不等式的解法，即可证明．然后列出等号成立的条件，求解即可.

【详解】（1）由已知，

解可得或.

当时，即时，不等式的解集为；

当时，即时，不等式的解集为或；

当时，即时，不等式的解集为或.

综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.

（2）因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

20．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）

(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】(1)

(2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．

【分析】（1）根据已知条件及年利润年销售收入固定成本变动成本即可求解；

（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．

【详解】（1）由题可知，，

所以；

（2）当时，，

由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，

所以当时，取得最大值为；

当时，，当且仅当，即时，等号成立，

因为，

所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．

21．已知函数．

(1)求；

(2)探究的单调性，并证明你的结论；

(3)若为奇函数，求满足的的范围．

【答案】(1);

(2)单调递减函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）令即可求解；

（2）先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再根据单调性的定义证明即可；

（3）由已知求出，然后根据函数的单调性得出不等式，解出即可求解．

【详解】（1）令，则.

（2）因为恒成立，所以函数的定义域为，

函数在上为单调递减函数.

证明如下：，且，

则，

因为，所以，所以.

又，

所以，即，

所以函数在上为单调递减函数.

（3）由已知，

因为在上为奇函数，所以，

所以，所以，

所以.

由（2）知，函数为上的单调递减函数，

则由不等式可得，，解得，

所以不等式的解集为．

22．设常数，函数．

(1)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)当时，若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）当时，结合函数奇偶性的定义，分类讨论函数的奇偶性；

（2）根据单调性的定义证明在R上单调递增.由题意可得出，是方程的两个不等的实根，整理可转化为有两个不等的实根，换元得到一元二次方程，求解即可得出答案.

【详解】（1）①当时，.

故对于任意的实数都有，此时函数为偶函数；

②当时，，定义域为.

因为，所以，此时函数为奇函数；

③当且时，函数的定义域为.

所以，此时函数的定义域不关于原点对称，故函数既不是奇函数又不是偶函数．

综上，当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数；当且时，函数既不是奇函数又不是偶函数．

（2）因为，

当时，函数定义域为R.

，则.

因为，所以，所以.

又，所以，，所以，

所以，所以在R上单调递增.

则由题意可得，，

所以，是方程的两个不等的实根，

即有两个不等的实根.

令，则方程有两个不相等的正实根，

故，解得，

所以，实数的取值范围为.