2022-2023学年重庆市铜梁一中等三校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市铜梁一中等三校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设角的终边过点，则（    ）

A． B．2 C．-2 D．

【答案】C

【分析】利用正切函数定义即可求得其结果.

【详解】由三角函数的定义将坐标数值代入可知，.

故选：C

2．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，，，，据此判断，方程的根应落在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点存在定理及单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.

【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，

因为，，所以在上有唯一零点，即，故，

所以方程的根落在区间上，且为，

对于ACD，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD选项中的区间上，故ACD错误；

对于B，显然满足题意，故B正确.

故选：B.

3．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用扇形面积公式计算即可.

【详解】由题知：，故.

故选：A

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

4．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据以及充分不必要条件的定义可得.

【详解】因为，

所以,

所以”是“”的充分不必要条件.

故选A．

【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.

5．计算的值为（    ）

A．-1 B．1

C． D．

【答案】B

【分析】利用平方关系化简即可.

【详解】解：因为，

.

故选：B.

6．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围．

【详解】解：方程有两个实数根，△，

，

的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴

所以，

可得，

或，

，

故选：．

【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．

7．已知函数在上单调递增，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数定义域以及复合函数单调性即可求得参数m的取值范围.

【详解】由题意可知，函数是由函数和函数复合而成；

由复合函数单调性可得，在上单调递增，

且由对数函数定义域可得在上的值域是的子集；

所以需满足，解得.

故选：D

8．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，可以求得函数的对称轴，利用对称轴将转化到已知条件所给的区间里面，在利用函数的单调性进行比较大小即可.

【详解】由题可知图像关于和对称

当时，为增函数，可得，

由于即∴，即

故选：B

二、多选题

9．下列给出的各角中，与终边相同的角有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据终边相同的角的定义逐一验证即可判断出选项.

【详解】由题意可知，与终边相同的角的集合为，

由此可得，时，，即A正确；

时，，即B正确；

时，，所以C错误；

时，，即D正确；

故选：ABD

10．给出的下列命题中，正确的命题有（    ）

A．若，则．

B．命题，的否定为：，．

C．若，，则角的终边在第三象限．

D．若是第二象限角，则是第一象限角．

【答案】BC

【分析】利用特殊值代入可判断A错误；根据含有一个量词命题的否定即可得B正确；由三角函数值的符号可判断出角所在的象限，可知C正确；由的范围可确定是第一或第三象限角，可知D错误.

【详解】对于A，取可知，所以A错误；

对于B，根据含有一个量词命题的否定可知，命题，的否定为，，所以B正确；

对于C，由可得为第三象限或第四象限角，可知为第一象限或第三象限角，所以角的终边在第三象限，选项C正确；

对于D，若是第二象限角，即，则，所以是第一象限或第三象限角，所以D错误.

故选：BC

11．设，，若，则实数的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.

【详解】集合，由可得，

则分和或或，

当时，满足即可；

当时，满足，解得：；

当时，满足，解得：；

当时，显然不符合条件，

所以的值可以为，

故选：.

12．下列命题中不正确的有（    ）

A．已知幂函数在上单调递减则或．

B．函数的值域为．

C．已知函数，若，则的取值范围为

D．已知函数满足，，且与的图像的交点为，则的值为8．

【答案】AC

【分析】选项A利用幂函数的定义及性质判断即可；选项B 利用转化法求函数的值域；选项C利用函数的奇偶性与单调性解不等式；D选项利用函数的对称性求解即可.

【详解】A：因为是幂函数，所以，所以或，

又在上递减，所以，故不正确，

B：因为，所以由，则，

方程有解则：，所以函数的值域为：，故正确；

C：由函数的定义域为，

 且，

所以为奇函数，由在上单调递增，所以在上单调递增，

由得：，解得，故错误，

D：由函数满足，，所以与都关于对称，

所以，故正确，

故选：AC．

三、填空题

13．函数（且）的图象过定点___________.

【答案】

【分析】由可得图像所过的定点.

【详解】当时，，故的图像过定点.

填.

【点睛】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过.我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）.

14．若，则的最小值是___________.

【答案】8.

【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.

【详解】解：因为，所以，，

所以

当且仅当即时，取等号，

所以的最小值是8.

故答案为：8

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.

15．已知，且，则______．

【答案】

【分析】根据已知结合同角三角函数关系得出，将，根据诱导公式即可得出，即可得出答案.

【详解】，且，

，

，

故答案为：.

16．已知函数若，且，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达式的取值范围

【详解】画出函数的图象如下：

观察图象由对称性可得，即

又，，

则

令，由二次函数图象可知，，，

∴的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)

(2)已知，求的值

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数之间的基本关系化简求值即可．

【详解】（1）

（2）利用诱导公式可得，原式

18．已知函数的定义域为.

(1)求；

(2)设集合，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由函数的解析式有意义列不等式可求函数的定义域；

(2)根据指数函数的单调性化简集合，结合关系列不等式求的取值范围.

【详解】（1）由有意义可得，得，

函数的定义域为，

即；

（2）因为函数在上单调递减，所以可化为，所以，

所以集合，

又，

所以，即，

所以实数的取值范围.

19．已知定义在上的函数，满足.

(1)求的解析式.

(2)若在区间上的最小值为6，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）利用换元法求解即可；

（2）因函数对称轴为，讨论对称轴与区间关系可知函数单调性，从而求得函数，建立方程求解即可.

【详解】（1）由，

令，即，，

则，，

所以.

（2）函数对称轴为，

当，即时，函数在上单调递减，

则此时，，解得或（舍去）.

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

则此时，，不符合题意.

当时，函数在上单调递增，

则此时，，解得（舍去）或.

综上所述，或.

20．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；

(2)第天达到最低.

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

21．已知

(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．

(2)解关于t的不等式．

【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；

（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．

【详解】（1）由题意，函数在上是增函数，

所以函数在上是增函数．

证明如下：在上任取且，

所以

由可知，所以，，，

所以，即．

即在上单调递增．

（2）易知，所以函数为奇函数；

由（1）知，函数是上的增函数，

由可得，

所以，即，解得，

即关于t的不等式的解集为

22．已知函数为奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）若对任意都有成立，求t的取值范围；

（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；

（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；

（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.

【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，

即对定义域内任意恒成立，所以，即，

显然，又当时，的定义域关于原点对称．

所以为满足题意的值．

（2）由（1）知，其定义域为，

可以判断出在上为增函数．

所以在上为增函数，

对任意都有成立，则有，

所以，所以，

所以求t的取值范围为；

（3）由（2）知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为，

所以，且，所以，

即是方程的两实根，  

问题等价于方程在上有两个不等实根，

令，对称轴

则，

即，解得．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.