2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求集合M的补集，再取与集合N的交集即可.

【详解】由，可得

则

故选：D

2．已知命题 ，则命题的真假及依次为

A．真；  B．真；

C．假；  D．假；

【答案】B

【详解】当时，，故命题为真命题；

∵，

∴.

故选B

3．已知，则下列选项错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题设知：，结合不等式的性质判断各选项的正误.

【详解】由得：

∴，，.

故选：D

4．已知函数，则（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【解析】由分段函数的表达式，代入即可求解.

【详解】由，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查了对数式的运算性质、分段函数求函数值，属于基础题.

5．若幂函数的图像过点，则函数的零点为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】结合题意,代入点坐标,计算的解析式,计算零点,即可得出答案.

【详解】，，，.

【点睛】本道题考查了函数解析式的计算方法和函数零点计算问题,代入点坐标,计算解析式,计算零点,属于较容易题.

6．已知点在幂函数的图象上，则

A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

【答案】A

【分析】待定系数法求解函数，再根据函数奇偶性定义判断即可

【详解】设，

∵点在幂函数f(x)的图象上，

∴，

解得a=−1，

∴，函数定义域为关于原点对称

且

故f(x)为奇函数．

故选：A

7．二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出二次函数在区间上单调递减的充要条件，即可求出其充分不必要条件；

【详解】解：因为的对称轴为，开口向上，所以，解得，所以二次函数在区间上单调递减的充要条件为，

所以二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为；

故选：D

8．若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，可推出，从而可知函数是周期函数，周期为4，进而可得出，，，然后根据是上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.

【详解】因为，所以，即是周期函数，周期为4，

又函数是上的奇函数，所以，，

则，，，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

9．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案．

【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，

将代入可得，∴   （注意此点位于函数减区间上）

∴

由可得，

∴点的坐标是，

故选B．

【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：

①求、：，；

②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；

③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．

10．已知角是第三象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数关系式中的商关系，结合，可以求出的值，最后根据同角的三角函数关系式和二次根式的性质进行求解即可.

【详解】

两边平方得；，解得或，因为角是第三象限角，

所以有，因此，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.

11．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先画出函数的图像，由图可知方程的根为或，从而得到和共有3个根，结合图像可得或，从而可求出的取值范围

【详解】画出函数的图像，令，即，

由图可知方程的根为或，

从而得到和共有3个根，即，共有个根，

当时，，

当时，，

所以或，解得或．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数图像的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由题意画出函数的图像，然后结合函数的图像求解，属于较难题

12．关于函数，下列观点正确的是

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称

【答案】C

【解析】利用“等价于的图象关于直线对称”或反例逐项检验后可得正确的选项．

【详解】对于A，因为，故，故A错．

对于B，因为，

故，故B错．

对于C，，

，

故的图象关于直线对称，故C正确．

对于D，，

故D错．

故选：C．

【点睛】结论点睛：（1）如果函数满足，则的图象关于直线对称，反之也成立；（2）如果函数满足，则的图象关于点对称，反之也成立．

二、填空题

13．渝北某公司一年预购买某种原料吨，计划每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.为使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的取值为________.

【答案】

【分析】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值及其对应的的值.

【详解】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，则，其中，

由基本不等式可得（万元），

当且仅当时，即当时，等号成立.

故答案为：.

14．函数（且）的图象过定点___________

【答案】

【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.

【详解】当时，，所以定点为.

故答案为：

15．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是___________.

【答案】

【分析】根据题意可知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数.

【详解】解：由题意，扇形的弧长，直径，

所以扇形的圆心角弧度数是，

故答案为：.

16．已知函数，给出以下四个命题：

①，有；

②且，有；

③，有；

④， .

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】①②③④

【分析】根据对数函数的性质直接检验①②，利用不等式的性质检验③，利用函数的奇偶性，引入新函数，利用导数比较与的大小后判断④．

【详解】函数定义域是，

时，，①正确；

，则，，

，，

所以，，

，又，

所以，②正确；

对任意，，而，显然，

，

，

记，，，，则，，，

所以，

，，，③正确；

对于④，，

时，设，，单调递增，所以，即，

又是奇函数，所以时，，

所以时，，④正确．

故答案为：①②③④．

三、解答题

17．设全集，集合，.

（1）求；

（2）若集合，满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）由一元二次不等式可得或，再由集合的交集、补集运算即可得解；

（2）转化条件为，再由集合间的关系即可得解.

【详解】（1）∵或，，

∴，

∴或；

（2）∵，，∴，

∴.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了由集合的运算结果求参数，属于基础题.

18．已知函数．

（1）求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；

（2）若，，求角的大小．

【答案】（1）对称中心为（，0），；单调递减区间为，；（2）.

【分析】（1）令可求出对称中心，令可求出单调递减区间；

（2）由可直接求出角的大小.

【详解】（1）由，，得，，

∴函数图像的对称中心为（，0），，

由，，得函数的单调递减区间为，；

（2），

又∵，

∴，

∴.

【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心和单调区间的求法，考查已知函数值求角，属于基础题.

19．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现（图中点）开始计算时间.

（1）将点距离水面的高度（米）表示为时间（秒）的函数；

（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点离开水面？

【答案】（1），；（2）见解析

【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据距离水面的高度得到点的坐标.利用三角函数来表示点的坐标，将角速度代入点的纵坐标，在加上，可求得的表达式.（2）令，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.

【详解】（1）以圆心为原点，建立如图所示的直角坐标系，

则，所以以为始边，为终边的角为,

故

点在秒内所转过的角=，所以，

（2）令，得，

所以

即

又，所以即在水轮旋转一圈内，有10秒时间点离开水面.

【点睛】本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

20．已知函数，．

(1)若的值域为，求a的值．

(2)证明：对任意，总存在，使得成立．

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解；

（2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证.

【详解】（1）解：因为的值域为，所以，解得．

（2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．

设在上的值域为M，

当，即时，在上单调递增，因为，，所以；

当，即时，在上单调递减，因为，，所以；

当，即时，，，所以；

综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，

所以对任意总存在，使得成立.

21．已知函数．

(1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；

(2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)的定义域为，奇函数；

(2).

【分析】（1）由求定义域，再利用奇偶性的定义判断其奇偶性；

（2）将对于，不等式恒成立，利用对数函数的单调性转化为对于，不等式恒成立求解.

【详解】（1）解：由函数，

得，即，

解得或，

所以函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以 是奇函数；

（2）因为对于，不等式恒成立，

所以对于，不等式恒成立，

所以对于，不等式恒成立，

所以对于，不等式恒成立，

令，则 在 上递增，

所以 ，

所以.

22．已知函数，且的解集为.

(1)求函数的解析式；

(2)设，若对于任意的、都有，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)的最小值为.

【分析】（1）利用根与系数的关系可求得、的值，即可得出函数的解析式；

（2）利用二次函数和指数函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值，由已知可得出，由此可求得实数的最小值.

【详解】（1）解：因为的解集为，所以的根为、，

由韦达定理可得，即，，所以.

（2）解：由（1）可得，

当时，，

故当时，，

因为对于任意的、都有，

即求，转化为，

而，，所以，.

所以的最小值为.