2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．若，且与也互相垂直，则k的值为（    ）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】首先根据向量垂直得到其数量积等于零，之后结合题中条件，得到结果.【详解】由题意可得，且，所以，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积运算公式，属于简单题目.2．已知，，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意，得，解得，即与的夹角为；故选B．【解析】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角．3．在中，，，，则b的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据，求出，再由正弦定理，求解即可.【详解】在中，由正弦定理可知即.故选：A.4．如图，设，两点在河的两岸，测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为50m，，后，就可以计算出，两点间的距离为（       ）A．m B．m C．m D．m【答案】A【分析】求出角后，根据正弦定理可解得结果.【详解】，由正弦定理得，∴，故，两点的距离为.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.5．设的内角，，的对边分别为,，，若，，，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】由余弦定理可得：，即：，整理可得：，结合可得：.本题选择A选项.6．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为A． B． C． D．1【答案】D【分析】选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选D．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性．7．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】,对应的点为,在第四象限，故选D.8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：．9．已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】试题分析：,所以互为共轭复数为，即，所以，故选D.【解析】1.复数相关的概念；2.复数的运算.10．如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述错误的是（    ）A．直线AD与BC异面B．过AD只有唯一平面与BC平行C．过点D只能作唯一平面与BC垂直D．过AD一定能作一平面与BC垂直【答案】D【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直与平行的判定定理，对选项中的命题逐个判断即可【详解】解：对于A，由异面直线的判定定理知，直线AD与BC异面，所以A正确；对于B，根据异面直线的性质知，过AD只有唯一平面与BC平行，所以B正确；对于C，由线面平行和垂直的判定定理知，过点D只能作唯一平面与BC垂直，所以C正确；对于D，由异面直线的性质知，只有当AD和BC异面垂直时，过AD一定能作一平面与BC垂直，否则不存在过AD的平面与BC垂直，所以D错误，故选：D【点睛】此题考查了异面直线的定义、判断定理和性质的应用问题，考查了线面平行和垂直的应用，属于基础题.11．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【答案】D【分析】直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．【详解】已知，为不同的平面，，，为不同的直线，对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．故选：D12．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　A．关于直线对称 B．关于点对称C．周期为 D．在上是增函数【答案】D【详解】当时,,∴f(x)不关于直线对称；当时, ,∴f(x)关于点对称；f(x)得周期，当时, ,∴f(x)在上是增函数．本题选择D选项.二、填空题13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_______.【答案】【分析】根据底面圆的半径求出展开图扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，得出锥体的高，即可求解体积.【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，因为圆心角为120°，所以圆锥的母线即展开图扇形的半径为，所以圆锥的高为，所以该圆锥的体积.故答案为：【点睛】此题考查利用扇形弧长公式求圆锥的母线长再求锥体的高，进而求出锥体体积，属于简单题目.14．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.【答案】【解析】利用面面平行的性质定理可得出与的位置关系.【详解】如图所示，连接、，在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理判断两直线的位置关系，在判断时应注意面面平行性质定理的应用条件，考查推理能力，属于中等题.15．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．【答案】5【分析】根据异面直线的定义判断即可．【详解】根据图形，异面直线共5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，BP与EF．故答案为：516．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.【答案】750【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【详解】在中，，所以，在中，，则，由正弦定理得，，所以，在中，，所以，故答案为：750三、解答题17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.（1）若，求；（2）若，求的最大值以及取得最大值时的值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由已知可得，由，可得，，可得的值；（2）由、及正弦定理可得，由辅助角公式可得的最大值以及取得最大值时的值.【详解】解：∵，∴.∵，∴.（1）∵，∴.∴.∴.（2）由得，.，其中.令锐角满足.则，∵，∴.当时，取得最大值1，相应取得的最大值.此时，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．一缉私艇在处发现在其北偏东方向，距离的海面处有一走私船正以的速度沿南偏东方向逃窜.缉私艇的速度为.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追上走私船所需的时间和角的正弦值.【答案】时间为，【解析】画图分析,设经过后缉私艇在处追上走私船,再将三角形的各边长用关于的式子表达,再根据余弦定理求解得,再利用正弦定理求解角的正弦值即可.【详解】设经过后缉私艇在处追上走私船（如图所示）.据题意,得.在中,由余弦定理,得.解得（舍去）.∴.由正弦定理,得.∴所需时间为,角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在实际情景中的运用,需要根据题意设变量表示各边,利用正余弦定理去求解.属于基础题.19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在上，，.（1）证明：平面；（2）若是中点，点在上，平面，求线段的长.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由底面是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理可得结果；（2）设过与平面平行的平面与交于点，与交于点，由面面平行的性质定理可得，，可证明平面，得到，由平行线的性质可得结果.【详解】（1）∵底面是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵平面，∴可设过与平面平行的平面与交于点，与交于点，则，，又是平行四边形，，∴，∴平面，∴，∵是中点，∴是中点，∵，∴，∴.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理与面面平行性质定理的应用，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【详解】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求21．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m·min-1.在甲出发2 min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1 min后，再从B处匀速步行到C处假设缆车的速度为130 m·min-1，山路AC长为1260 m，经测量，.（1）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？（2）为使甲、乙在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最短；（2）乙步行的速度应控制在（单位：）【解析】（1）依题意，可求得与，从而可求得；在中，利用正弦定理即可求得山路的长，设乙出发min后，甲、乙距离为dm，此时，甲行走了，乙距离处，应用余弦定理表示出，求得结果；（2）由正弦定理可求得，设乙的步行速度为，依题意，解不等式即可求得结果.【详解】（1），，， ，，.由，得，∴乙在缆车上的时间为.设乙出发min后，甲、乙距离为dm，则，∴当时，即乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最短.（2）由，得.乙从B处出发时，甲已经走了，还需走710m才能到达C处，设乙步行的速度为，则，解得.∴为使甲、乙在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在（单位：）的范围内.【点睛】在运用解三角形的知识解决实际问题时，首先要分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，从而将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的好处.22．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；（2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点．【详解】（1）证明：如图，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，分别为，的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）证明：平面平面，平面平面，平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，则，得，为的中点，为的中点．23．已知，，．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的单调递减区间为，；由可得：当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．