2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知实数集， 集合， 则 （    ）

A． B． 或

C． D． 或

【答案】B

【分析】根据补集的定义，结合并集的定义进行求解即可.

【详解】因为集合

所以，而，

所以 或 ，

故选：B

2．是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.

【详解】若，因为，故，

故“”可以推出“”，

取，则满足，但不成立，

所以 “”不能推出“”，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

3．不等式恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.

【详解】不等式恒成立，

当时，显然不恒成立，

所以，解得：.

故选：A.

4．已知，则（    ）

A． B．

C． D．的取值范围是

【答案】B

【分析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D.

【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误．

故选：B

5．函数，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】因为，则，故.

故选：D.

6．函数的大致图象是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为，

因为，则是奇函数，排除BD.

当时，，排除A.

故选：C.

7．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】令，求得，从而得，再结合奇函数的性质可得的周期为8，从而可求得答案

【详解】令，则，得，

所以，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，

所以，所以，

所以的周期为8，

所以，

故选：A

8．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案.

【详解】由题意可得，则，

故选:.

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．命题“，使得”的否定是“，均有”

B．

C．“”是“”的必要不充分条件

D．如果，那么

【答案】BCD

【分析】利用存在命题的否定变换形式即可得出答案；根据全称量词命题的真假即可得出答案；利用充分性和必要性的定义，逐个选项判断求解即可；利用不等式的性质即可得出答案.

【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，

均有”，所以，A错误；

对于B，，，所以，B正确；

对于C，，所以，“”不一定能得到“”，

充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；

对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；

故选：BCD

10．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数

C．为的最大值 D．

【答案】BD

【分析】根据函数的奇偶性结合对称轴，可判断函数的性质，从而可判断A,B的对错；因为定义域内x=-1时的值不确定，故可判断C;根据函数的对称轴以及单调性，可判断D的对错.

【详解】因为为偶函数，且函数在上为增函数,

所以的图象关于直线对称，且在上为减函数,

所以A不正确，B正确；

因为在上为增函数，在上为减函数,但没有明确函数是否连续，不能确定的值，所以C不正确；

因为，，

又在上为增函数，

所以，即，所以D正确．

故选：BD．

11．已知函数，则下列四个命题中正确命题的个数是（    ）

A．在上单调递减 B．上单调递减

C．的图象关于直线对称 D．的值域为

【答案】BC

【分析】利用复合函数的单调性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；利用对数函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于函数，有，解得，

所以，函数的定义域为，且.

对于AB选项，内层函数在上单调递增，在上单调递减，

由于外层函数为增函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，A错B对；

对于C选项，，

所以，函数的图象关于直线对称，C对；

对于D选项，当时，，故，D错.

故选：BC.

12．已知函数，则下列结论中正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．函数的图象关于直线对称．

C．函数的图象关于点对称

D．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】ABD

【分析】根据余弦函数的周期，对称轴，对称中心和图像变换的相关知识，对每一选项逐一判断即可.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，

D正确．

故选:ABD．

三、填空题

13．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______．

【答案】##0.75

【分析】根据条件求出，，再代入即可求解.

【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，

所以，

所以．

故答案为：

14．已知函数（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象上所有点向右平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.

【答案】##

【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为得到及，由的图象上所有点向右平移个单位得到的图象关于y轴对称，可得.

【详解】由题意的最小正周期，∴，，

的图象上所有点向右平移个单位后，得到

的图象关于y轴对称，

∴，，，

，∴的最小正值为.

故答案为：.

15．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.（参考数据：）

【答案】51

【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.

【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，

则，

解得，

设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，

则

，得

，

则燃料质量是箭体质量的51倍

故答案为：51.

16．一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，其中最小位移为cm，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为______

【答案】

【分析】由已知数据，设所求函数关系式，利用y的最大值与最小值确定振幅，由周期确定，代入点坐标（0.4,4）求，确定函数式.

【详解】设，

则从题表中可得到，．

又由，可得，

所以

可取，

则，即．

故答案为：

四、解答题

17．已知全集为R，集合，或.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；

（2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.

【详解】（1）解：当时，或，

又，所以；

（2）因为或，所以，

又，所以，解得，即.

所以实数m的取值范围.

18．已知函数，且关于x的不等式的解集为．

(1)求实数b，m的值；

(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据韦达定理求解即可；

（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.

【详解】（1）由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，

所以，又，解得．

所以，．

（2）由题意得，在上恒成立，令，只需即可，

由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．

所以，则的取值范围是．

19．已知函数.

(1)若，求证：函数在上单调递增；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用单调性的定义证明即可，

（2）由于，所以将问题转化为恒成立，然后求出的最大值即可

【详解】（1）依题意，，设，

则

因为，故，

故，

故函数在上单调递增；

（2）依题意，

，

因为，故，则，

若，则，则，故，解得，

故实数m的取值范围为.

20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.

(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.(精确到0.1，参考数据：取1.4)

【答案】(1)天

(2)

【分析】（1）根据题意分和两种情况解不等式，从而可求出去污所持续的时间；

（2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度，化简后利用基本不等式可求得结果.

【详解】（1）∵一次喷洒个单位的净化剂，

∴浓度，

则当时，由，解得，

∴此时．

当时，由，解得，

∴此时．

综合得，

若一次投放个单位的制剂，则有效净化时间可达天．

（2）设从第一次喷洒起，经天，

浓度，

∵，而，

∴，

故当且仅当时，有最小值为．

令，解得，

∴a的最小值为．

21．设定义在上的函数､奇函数和偶函数，满足，若函数.

(1)求的解析式；

(2)求在上的最小值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）求出，利用函数奇偶性可得，进而可得答案；

（2）利用求出，再利用基本不等式求最值.

【详解】（1）由，可知，

由为奇函数，为偶函数，可知，

则，

则；

（2）由（1）得

当时，，

则，

当且仅当，即时取等号，

则在上的最小值为1.

22．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为.

(1)求函数在上的单调增区间；

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得解；

（2）根据整体代换法即可求出值域．

【详解】（1）因为图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，所以的最小正周期，所以，故.

令，则，

即的单调递增区间为.而，所以

函数在上的单调增区间是．

（2）当时，，则，

所以，即的值域为．