2021-2022学年广西玉林市第十中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西玉林市第十中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数模的计算公式，计算出的模.

【详解】依题意，，故选D.

【点睛】本小题主要考查复数模的概念及运算，属于基础题.

2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，再由，即可得到答案.

【详解】由于是边上的中点，则.

.

故选：B.

3．在中，，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理可直接求得结果.

【详解】由正弦定理得：.

故选：C.

4．在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；

对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；

对于C，，共线，不可以作为基底，C错误；

对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.

故选：B.

5．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°

【答案】B

【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.

【详解】连接，，分别是，的中点，

，又由正方体的性质可知，

故就是异面直线与所成的角或所成角的补角

连接，由题可知为正三角形，即

故与所成的角为60°．

故选：B.

6．若在，则三角形的形状一定是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】根据余弦定理角化边可得结果.

【详解】由以及余弦定理得，

化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.

故选：B

7．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ）

A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”

C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”

【答案】A

【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．

【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：

“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”

根据互斥事件可知：A正确；

“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；

“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；

“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；

故选：A．

8．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，

所以圆锥体的侧面积为，

圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，

所以此陀螺的表面积为（），

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确是（    ）

A．三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体

B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

C．平行的线段在直观图中仍然平行

D．圆心和圆上两点可确定一个平面

【答案】BC

【分析】根据棱锥分类、平行六面体的定义、直观图的特征和平面的确定方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，正四面体是各棱长均相等的三棱锥，是正三棱锥的一种，A错误；

对于B，平行六面体两个相对的面为全等的平行四边形，B正确；

对于C，平行的线段在直观图中的位置关系不变，仍然平行，C正确；

对于D，若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，D错误.

故选：BC.

10．设向量，，则（    ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】CD

【分析】根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.

【详解】因向量，，则，，A不正确；

，而，即与不共线，B不正确；

而，则，，C正确；

，又，于是得，即与的夹角为，D正确.

故选：CD

11．某校举办了校园歌手大赛，某参赛歌手的得分如下：7，8，6，9，5，7，7，9，6，7，7，6，则（    ）

A．该歌手得分的平均数为7 B．该歌手得分的第80百分位数为7

C．该歌手得分的众数为6 D．该歌手得分的方差为

【答案】AD

【分析】将数据从小到大排列，即可得到众数，再根据平均数、方差公式计算判断A、C、D，根据百分位数计算公式判断B；

【详解】解：该组数据从小到大排列为、、、、、、、、、、、，一共个数据，所以众数为，故C错误；

平均数为，故A正确；

因为，所以第80百分位数为第个数是，故B错误；

方差为，故D正确；

故选：AD

12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（       ）

A．若m//n，nα，则m//α B．若m⊥n，nα，则m⊥α

C．若m⊥α，n⊥α，则m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n

【答案】CD

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．

【详解】m//n，nα时，或，A错；

m⊥n，nα，与可能平行，也可能有或相交，不一定垂直，B错；

若m⊥α，n⊥α，由线面垂直性质定理知，C正确；

m//α，m//β，α∩β＝n，如图，

过作平面交于直线，由得，

同理过作平面与交于直线，得，

所以，而，所以，又．，则，

所以．D正确．

故选：CD．

三、填空题

13．棱长为1的正方体的外接球的表面积为_______．

【答案】

【详解】试题分析：正方体的对角线就是外接球的直径，所以,.

【解析】球与几何体的组合体

14．在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标为_________.

【答案】

【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解.

【详解】由，得＝2＋2i，

所以z在复平面内对应的点为.

故答案为: .

15．若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．

【答案】32

【分析】根据方差的性质计算即可.

【详解】若样本数据的方差为8，则数据的方差为，

故答案为：32

16．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是__________.

【答案】

【分析】求出所有的基本事件的个数，再求出至少摸到一个黑球的基本事件的个数，利用等可能性事件的概率公式即可求解.

【详解】设两个白球为，两个黑球为，则

从6个球中任取2个球的基本事件有：，种等可能结果，

其中至少摸到一个黑球的的事件是：，种等可能结果，

故至少摸到一个黑球的概率为：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，，.

(1)求与的夹角；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积运算律可求得，由向量夹角公式可求得结果；

（2）由（1）可得，代入三角形面积公式即可.

【详解】（1），，

，又，.

（2）由（1）得：，.

18．在中，，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可构造方程求得，由可得；

（2）由同角三角函数关系可得，根据正弦定理得到，由可得结果.

【详解】（1），，

由余弦定理得：，

解得：，.

（2），，，

由正弦定理得：，

.

19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证：

(1)平面；

(2)平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定可证得结论；

（2）由线面垂直性质可得，结合，由线面垂直的判定可得结论.

【详解】（1）连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，

平面，平面，平面.

（2）平面，平面，；

四边形为正方形，，

又，平面，平面.

20．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

(3)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可；（2）根据频率分布直方图中位数求法解决即可；（3）根据分层抽样得在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，有古典概型概率求法解决即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

（2）因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，

所以中位数为

（3）在和两组中的人数分别为

和人，

所以在分组中抽取的人数为人，记为，

在分组中抽取的人数为2人，记为，

所以这5人中随机抽取2人的情况有共10种，

其中两人得分都在的情况有1种，

所以两人得分都在的概率为.

21．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．

(1)求证：；

(2)若，，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直性质可得，结合，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可证得结论；

（2）根据体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）平面，平面，；

四边形为矩形，，又，平面，

平面，又平面，.

（2）平面，平面，，又为中点，

，

由（1）知：平面，.

22．如图，直角梯形ABCD，，，．

(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；

(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用向量坐标或者向量的基本定理即可.

【详解】（1）（法一）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，

则，，，，

，即

所以，

（法二）因为M为BC中点，所以

又因为且，

所以

因为，不共线，根据平面向量基本定理可知，

（2）（法一）如下图所示，，则

则

因为，所以

解得（舍）或，所以t值为.

（法二）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系

则，，，，设，则，

因为，则①

，，又，与共线

所以②

由①②解得或，

若则（舍），若则．