2022-2023学年 山东省临沂市第四中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

临沂四中高一上学期期末考试数学学科试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】集合M中元素是实数，集合N中元素是整数，先化简集合M再与集合N取交集即可解决.

【详解】方程有两根或，则由不等式可得

则

又

故

故选：D

2. 命题“任意，都有”的否定为（    ）

A. 存在，使得

B. 不存在，使得

C. 存在，使得

D. 对任意，都有

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论，即得答案.

【详解】命题“任意，都有”的否定为“存在，使得”，

故选：A

3. 设，，，则a，b，c大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数、对数函数单调性判断出大致范围，即可求解.

【详解】因为，，，所以.

故选：D．

4. 在直角坐标系中，已知圆的圆心在原点，半径等于1 ，点从初始位置开始，在圆上按逆时针方向，以角速度 均速旋转后到达点，则的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求得点所在终边对应的角度，然后以三角函数定义去求的坐标即可.

【详解】点为角的终边上一点，后点按逆时针方向旋转到达点，

点落在角的终边上，

，

故的坐标为

故选：D

5. 已知，则下述一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可判断ABC，举出反例，如即可判断D.

【详解】解：因为，

所以，，故AB错误；

，所以，

所以，所以，

即，故C正确；

对于D，若时，

则，故D错误.

故选：C.

6. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出两个不等式的的取值范围，根据的取值范围判断充分必要性.

【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

7. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.

【详解】由可知

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

以上三个不等式两边同时相乘，可得

（当且仅当时等号成立）

故选：D

8. 定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集.

【详解】，不妨设，故，即，

令，则，故在上单调递减，，

不等式两边同除以得：，因为，所以，即，

根据在上单调递减，故，综上：

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确有（    ）

A. 函数的图象不经过第四象限

B. 函数在其定义域上为增函数

C. 函数与的图象关于轴对称

D. 函数与的图象关于直线对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A，函数 的图像经过第一、三象限；

选项B，计算正切函数的定义域和单调区间；

选项C， 与关于y轴对称；

选项D，反函数关于 对称.

【详解】对于A：

函数 的图像经过第一、三象限，故A正确；

对于B：

函数 的定义域为 ，

单调递增区间为，故B错误；

对于C：

若 在 的图象上，则 在 的图象上，所以图象关于y轴对称，故C正确；

对于D：

由于 与互为反函数，所以图象关于 对称，故D正确.

故选：ACD

10. 已知为第一象限角，下述正确的是（    ）

A.  B. 为第一或第三象限角

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据为第一象限角，可得，即可判断A，求出的范围，从而可判断B，结合商数关系即可判断C，根据余弦函数的性质即可判断D.

【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A错误；

，

当时，，为第一象限角，

当时，，为第三象限角，

所以为第一或第三象限角，故B正确；

，所以，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

11. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2

D. 若，， ，则的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.

【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；

，故B错误；

，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；

，，，故的最小值为4，故D正确.

故选：ACD.

12. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）

A 对于圆O，其“太极函数”有1个

B. 函数是圆O的一个“太极函数”

C. 函数不是圆O的“太极函数”

D. 函数是圆O的一个“太极函数”

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；

对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；

对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；

对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.

故选：BD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数是定义在上的周期4的奇函数，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数为奇函数求得，再根据函数的周期性即可得解.

【详解】解：因为函数是定义在上的周期4的奇函数，

所以.

故答案为：-1.

14. 和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为________.

【答案】

【解析】

【分析】先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制.

【详解】设圆心角为，则扇形面积公式，其中，，代入公式得：，其中1密位=，故，所以其圆心角可以用密位制表示为.

故答案为：.

15. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.

【详解】∵函数的值域为，又当时，，

∴，解得.

故答案为：.

16. 已知函数，若有两个实根，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，即求的值域即可.

【详解】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，

此时，，，

∴，

由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当，，

所以，

则.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，.

（1）求和的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义求出a，进而求出；

（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.

【小问1详解】

由题意得：，解得，所以.

【小问2详解】

原式.

18 已知全集，集合，集合，集合.

（1）求集合；

（2）求集合.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦函数的性质可得集合，进而可得集合，再利用交集的定义运算即得；

（2）利用指数函数的性质可得，再利用补集的概念及并集的定义即得.

【小问1详解】

∵，

∴，即，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵,

∴，

∴，又，

∴或，

∴.

19. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求不等式的解集.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）由可得答案.

（2）先解出不等式，再与求交集，从而得到答案.

【小问1详解】

令，,解得，.

所以，函数单调递增区间为.

【小问2详解】

不等式，即.

则，即

当时，，又，所以

当时，，又，所以

所以不等式的解集为或

20. 已知函数．

（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1），奇函数   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；

（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.

【小问1详解】

由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又,

所以函数奇函数；

【小问2详解】

因为，

所以不等式可化为，

因为在是增函数，所以有，

又，所以，解得，又，

因此不等式的解集为．

21. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

（1）求表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

【答案】（1），候车厅候车人数为4200人   

（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【解析】

【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；

（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.

【小问1详解】

当时，设，，则，

.

，

故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.

【小问2详解】

，

①当时，，当且仅当时等号成立；

②当时，；

又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

22. 已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可.

【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，

得，

所以，

又为上的奇函数，

所以，

得，

经检验，当时，符合，

所以；

（Ⅱ），

因为在定义域内单调递增，

则在定义域内单调递减，

所以在定义域内单调递增减，

由于为上的奇函数，

所以由，

可得，

则在恰有个互异的实数根，

即在恰与轴有两个交点，

则，

所以实数的取值集合为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，

由，

得，

所以，

即对任意的恒成立，

令，

由题意，

得，

所以实数的取值范围为：.

【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.