2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期期中数学试题 一、填空题1．已知集合，，若，则实数______．【答案】1【分析】由题得，解出值检验即可.【详解】由题知,若,则或,当时,方程无解;当时,,解得:,此时,,符合题意,所以.故答案为：1.2．化简∶=_________.【答案】【分析】利用指数幂的运算性质及平方差公式即可求解.【详解】.故答案为:.3．若，则____.【答案】【解析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，故答案为：4．设是方程的两个实数根，则_________【答案】【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解.【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得，所以，故，故答案为：.5．“中至少有一个小于零”是“的___________条件.【答案】必要不充分【分析】根据充分必要条件的定义,判断由“中至少有一个小于零”是否能推出“”成立,再判断由“”是否能推出“中至少有一个小于零”成立即可.【详解】解:由题知,当中至少有一个小于零时,不妨取,此时,故“中至少有一个小于零”是“的不充分条件,当成立时,则中必有负数,故中至少有一个小于零,故“中至少有一个小于零”是“的必要条件,综上: “中至少有一个小于零”是“的必要不充分条件.故答案为:必要不充分6．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为__________.【答案】【分析】由于恒成立，可以将恒成立可转化为恒成立，然后分类讨论即可得到结果.【详解】因为恒成立，所以恒成立可转化为恒成立，当时，恒成立；当时，需要满足，即，综上：的取值范围为.故答案为：.7．设，则____________【答案】1【分析】利用指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质和换底公式进行求解即可.【详解】解：，则，，，.故答案为：1.8．设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，记为，由，得，记为，因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，所以，解得，当时，不满足题意所以实数的取值范围为，故答案为：.9．某地每年销售木材约20万，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．【答案】【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为y万元，求得每年的木材销售量万．每年的销售收入为万元，可得，令，由二次不等式的解法，可得所求范围．【详解】解：设按销售收入的征收木材税时，税金收入为y万元，则．令，即，解得．故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用，考查化简运算能力，属于基础题．10．对于任意实数，使恒成立，那么我们把M的最大值叫做的下确界.若实数满足且，则的下确界为__________.【答案】【分析】由题，下确界即的最小值，求最小值即可.【详解】因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以的下确界为：.故答案为：.11．已知不等式组的整数解恰好有两个，求的取值范围是_______【答案】【详解】试题分析：不等式组，即，①当a=1-a时，即a=时，x无解．②当a＞1-a时，即a＞时，不等式组的解集为（1-a，a），再根据此解集包含2个整数解，可得 1-a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．③当a＜1-a时，即a＜时，若0≤a＜，不等式组的解集为（1-2a，1-a），无整数解，不满足题意．若a＜0，不等式组的解集为∅，不满足题意．综上可得，1＜a≤2，【解析】不等式的解法12．对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________.①具有性质；②若集合具有性质，则；③集合具有性质，若，则.【答案】①②③【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为，所以，根据集合具有性质的定义，对于任意，若，则或，或，若，取，则；若，取，则；若，取，则；若有一个为负数，则或，若，则取，则；若，则取，则；故①正确；对于任意，存在，使得取，存在使得，所以，不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确；③假设，令，则存在使得，同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾，所以，又由②得，所以，所以，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 二、单选题13．设a，b是满足的实数，那么（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用举反例可判断ACD，利用不等式的性质可判断B【详解】对于A，满足，则，此时，故不正确；对于B，因为，所以，所以，所以，故正确；对于C，满足，则，，此时，故不正确；对于D，满足，则，此时，故不正确；故选：B14．用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（    ）A．、都能被5整除B．、不都能被5整除C．、至多有一个能被5整除D．、至少有一个都能被5整除【答案】D【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立.【详解】假设的内容是命题“与都不能被5整除”的否定为“、 至少有一个能被5整除”.故选：D15．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ）A．a<v< B．v= C．<v< D．v=【答案】A【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】设甲乙两地相距，则平均速度，又∵，∴，∵，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型.16．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【详解】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【解析】不等式性质 三、解答题17．已知集合，(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）当时，求出集合B，即可求出；（2）由集合A求出，利用即可求出的取值范围.【详解】（1），；当时，，所以；（2）或若，则或，所以或.18．（1）已知实数满足，求证：.（2）已知实数满足，用反证法证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）通过立方差公式得出，根据已知条件得出，再判断，即可证明；（2）假设，则，即可得到，判断其范围再与已知对比，即可证明.【详解】（1）证明：，，又，且， ，；（2）假设，则，故与已知矛盾，故.19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月都有处理量，且处理量最多不超过 300吨，月处理成本y（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且处理x吨二氧化碳可得到价值为元的化工产品.(1)设该单位每月获利为S（元），试写出S与x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围?(3)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1)(2)(3)200吨 【分析】(1)由产品价格去掉成本即可得到利润；(2)令利润大于零，求解相关的一元二次不等式即可得出答案；(3)表示出每吨平均处理成本，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意.（2）令，即，解得，又，所以，故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在内.（3）由题得，当且仅当，即时取等号，所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.20．（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围；（3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值.【答案】（1）证明见解析，当时取等号；（2）或；（3）存在，或或【分析】(1)应用绝对值三角不等式即可证明;(2)解集非空转化为最大值大于1解不等式即可；（3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定的子集，再分和两种情况讨论求解可得的值.【详解】（1）由三角不等式得，当时取等号.（2）由题意得，所以，解得或，（3）由得，故，若，则，所以，符合题意，若，设，因为，所以，所以，解得或.当,,当,当,,符合题意当,,当,当,,符合题意综上，或或.21．设是正整数，集合，对于集合A中的任意元素和.记(1)当时，若，求和的值；(2)当时，若的值为奇数，求所有满足条件的元素；(3)给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素满足，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.【答案】(1)，(2)或或或或或或或(3)，理由见解析 【分析】（1）直接根据定义计算；（2）根据的值为奇数，得为奇数，由此即可得出答案；（3）由得，可知与必然一个为0，一个为1；或与均为0，则集合中元素个数最多为，从而得出答案．【详解】（1）由得，；（2），其中为奇数，故或或或或或或或；（3）由得，所以与必然一个为0，一个为1；或与均为0，综合得与中相同位置上的数字不能同时为1，所以集合中元素个数最多为，.