2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，若则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由知，然后对讨论可得.

【详解】当时，集合B为空集，显然满足题意，故排除A、B；

当时，集合，集合，则有，或，即或.

故选：C

2．若、都是正实数，则“”是“”（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为、都是正实数，若，取，，则，即“”“”；

若，由基本不等式可得，即“”“”.

因此，“”是“” 必要不充分条件.

故选：B.

3．已知f (x)＝│x│，g (x)＝x2，设则函数h(x)大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】在同一坐标系中，作出函数f (x)＝│x│，g (x)＝x2的图象，可得选项.

【详解】在同一坐标系中，作出函数f (x)＝│x│，g (x)＝x2的图象，

又因为根据图象可知D选项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查分段函数的定义，函数的图象的应用，属于基础题.

4．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数对数函数的性质分别判定与0,1的大小关系，即可作出判定.

【详解】因为，，，所以．

故选:B．

5．世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.

【详解】因为.6644，所以.

故选：C

6．下列选项使得函数单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将函数化为函数，即求函数的减区间.然后再根据选项进行选择.

【详解】函数.

当函数单调递减时，单调递增.

由

即

所以.

所以函数单调递增为：

当时，在调递增.

当时，在调递增.

故选：B

【点睛】本题考查正弦型函数的单调性的求法，要注意为负数的情况，是易错题，属于基础题.

7．已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，则m＋n的值为（    ）

A．－2 B．2 C．±2 D．以上都不对

【答案】A

【分析】根据韦达定理得到，，且，，利用，代入原式可得结果.

【详解】因为m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，

所以，，所以，，

所以m＋n.

故选：A.

【点睛】本题考查了韦达定理，属于基础题.

8．定义域为R的函数满足，任意的实数都成立，且值域为．设函数若对任意的，都存在，使成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和值域可得，作出函数的函数图象，结合当时及时函数的图象要位于的下方，得到，即可求解.

【详解】由，

得，解得或，

因为为偶函数，且值域为，

所以；

由，在一个平面直角坐标系中画出两者的函数图象，如图，

要想满足任意的，存在，使得成立，

则当时，，解得，

且时，函数的图象要位于函数图象的下方，

故只需，解得.

综上，实数m的取值范围为.

故选：A.

二、多选题

9．已知函数，则下列选项正确的有（    ）

A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称

C．的最大值为 D．曲线关于直线对称

【答案】ACD

【解析】根据最小正周期的计算公式，可判定A正确；根据，可判定B错误；根据三角函数的最值，可判定C正确；根据三号函数的对称性，可判定D正确.

【详解】由题意，函数，

对于A，由于的最小正周期，故正确；

对于B，由于，故错误；

对于C，由于，故正确；

对于D，的对称轴为得，当时，，

即关于直线对称，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知关于的不等式的解集为或，则（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为或

【答案】ABD

【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．

【详解】由题意可知，A选项正确；

是方程的两根，

则，C选项错误；

不等式即为，解得，B选项正确；

不等式即为，即，解得或，D选项正确．

故选：ABD．

11．下列说法正确的是（        ）

A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位；

B．在上是增函数；

C．若点为角的终边上一点，则；

D．已知扇形的圆心角，所对的弦长为，则弧长等于.

【答案】ABCD

【分析】利用三角函数的平移变换可判断A；利用余弦函数的单调性可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用弧长公式可判断D.

【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位，

可得，故A正确；

对于B，由，则，

故函数的单调递增区间为，当时，，故B正确；

对于C，点为角的终边上一点，则，故C正确；

对于D，扇形的圆心角，所对的弦长为，则扇形的半径为，

所以，故D正确.

故选：ABCD

【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、余弦函数的单调性、三角函数的定义以及扇形的弧长公式，属于基础题.

12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．若函数是奇函数则必有

B．函数(其中且)的图象过定点

C．定义在上的奇函数在上是单调递增函数，则在区间也是单调增函数

D．函数，则方程有6个不等实根

【答案】BD

【解析】对于选项A，根据函数在处是否有定义来判断正确与否；

对于选项B，将点代入函数表达式来判断函数是否经过此点；

对于选项C，通过举反例来验证此结论是否正确；

对于选项D，令，求出的取值范围，再求出与的不同取值范围的交点的个数即可.

【详解】A项，由于的定义域不知，所以不一定成立；

B项，令，得，，所以过定点，B项正确；

C项，在上是单调递增函数，在区间也不一定也是单调增函数，例如：；

D项，令，则，所以，

有一个交点，有三个交点，有两个交点，共6个交点；

所以有6个不等实根，D正确；

故选：BD.

【点睛】本题考查奇函数的定义域、单调性问题，对数函数是否过定点的问题和复合型函数的零点问题；考查理解辨析能力、运算求解能力，属于中等题型.

三、填空题

13．已知集合，，则是的充分不必要条件，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】分析可得，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，，则（等号不同时成立） ，解得.

故答案为：.

14．若， ， ，则的最小值为_________．

【答案】##2.25.

【分析】由得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.

【详解】因为，所以，

因为，，

故

，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

15．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.

【详解】由解析式得大致图象如下图所示：

由图可知：当时且，则令，解得：，

，又，，

，

令，则，

，即.

故答案为：

【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.

16．已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是______.

【答案】

【分析】分三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出的范围即可得答案.

【详解】因为，

当，即时，，

，

此时对称轴为，

所以，

即，

所以，解得，

所以；

当，即或时，有两个根，，设，

此时对称轴为或，

当，即时，，

即

所以，解得，

所以；

当，即时，，

即

所以，解得，不满足，故无解.

综上所述，的取值范围是，故的最大值为.

故答案为：

【点睛】研究含有参数、绝对值的函数的最值时，要注意根据参数和绝对值进行分类讨论，涉及二次函数的问题，分类标准可考虑利用判别式来制定，分类讨论要做到不重不漏.

四、解答题

17．在①函数的定义域为集合B，②不等式的解集为B这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：设全集，_____．

(1)当，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合B，再利用集合间的基本运算求解．

（2）若“”是“”的充分条件，则，进而列出不等式组，求出的取值范围即可．

【详解】（1）解：若选①，则，解得，

∴，

当时，，

∴，

∴；

若选②，则，解得，

下同选①；

（2）解：若“”是“”的充分条件，则，

∴，解得，

即的取值范围为．

18．（1）已知，求的值；

（2）

【答案】（1）2（2）

【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解.

（2）利用对数的运算性质求解.

【详解】（1）由题意得，

而，则，

（2）原式

19．已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；

（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．

【详解】（1）由题意可知，，即，

所以，，

将的图象向右平移个单位得，

因为的图象关于轴对称，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以；

（2），

所以，

，

，

所以．

20．年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量单位：万箱；已知通过市场分析，如若每万箱售价万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．利润销售收入总成本

(1)求年利润与万元关于年产量万箱的函数关系式；

(2)求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

【答案】(1)

(2)万箱

【分析】（1）分，两种情况，结合利润销售收入总成本公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较可得．

【详解】（1）当时，

，

当时，

，

故关于的函数解析式为．

（2）当时，

，

故当时，取得最大值，

当时，

，

当且仅当，即时，取得最大值，

综上所述，当时，取得最大值，

故年产量为万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

21．已知函数．

(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上递减，证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）由函数的单调性结合定义域可得关于的不等式组，解不等式组可得实数的取值范围．

【详解】（1）在上递减，理由如下：

任取，且，则

，

因为，且，

所以，，

所以，即，

所以在上递减；

（2）由（1）可知在上递减，

所以由，得

，解得，

所以实数的取值范围为.

22．函数是定义在上的奇函数，且.

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；

（2）根据函数单调性的定义可证明；

（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.

【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，

经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，

又，解得，

故；

（2）解：函数在上为增函数.证明如下：

在任取且，

则，

因为，

所以，即，

所以在上为增函数.

（3）解：因为为奇函数所以，

不等式可化为，即，

又在上是增函数，所以 ，解得

所以关于的不等式解集为.