2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期期中数学试题 一、填空题1．设全集，则__．【答案】【分析】根据集合的运算求解.【详解】因为，所以，故答案为: .2．满足的集合有__个．【答案】7【分析】根据非空子集的定义求解.【详解】由题意可知与的非空子集的并集，而的非空子集有有个，所以满足条件的有7个，故答案为：7.3．用列举法表示集合__．【答案】【分析】根据题意可得，求出的值即可求解.【详解】由题意得，所以，所以.故答案为: .4．把化成有理数指数幂的形式为__________.【答案】【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答.【详解】，.故答案为：5．若，，且，则实数的值为__．【答案】0，1，【分析】由得，讨论，，根据元素与集合的关系，即可得满足条件的所有实数的值.【详解】解：集合，若，则，则当时，；当时，，所以或，所以或，综上，的值是0，1，.故答案为：0，1，.6．已知，则的最小值为________.【答案】【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，函数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.7．命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】求函数的值域，化简命题，根据必要不充分的定义列不等式求的取值范围.【详解】因为函数的值域为，所以命题，又命题，命题是命题的必要不充分条件，所以，所以，故实数的取值范围是.故答案为：.8．已知，，用表示为__．【答案】【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解.【详解】因为，，所以，；所以．故答案为: .9．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__．【答案】【分析】根据和分类讨论即可求解.【详解】当时，，满足题意；当时，，所以，综上，实数的取值范围为.故答案为: .10．设，定义为不小于的最小整数，如等，若，则的取值范围为__．【答案】【分析】根据新定义可得，解一元二次不等式即可求解.【详解】若，则，解得或，所以的取值范围为.故答案为: .11．已知不等式组的整数解恰好有两个，求的取值范围是_______【答案】【详解】试题分析：不等式组，即，①当a=1-a时，即a=时，x无解．②当a＞1-a时，即a＞时，不等式组的解集为（1-a，a），再根据此解集包含2个整数解，可得 1-a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．③当a＜1-a时，即a＜时，若0≤a＜，不等式组的解集为（1-2a，1-a），无整数解，不满足题意．若a＜0，不等式组的解集为∅，不满足题意．综上可得，1＜a≤2，【解析】不等式的解法12．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，，解得，由于，故可设，所以，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为： 二、单选题13．“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式即可判断求解.【详解】，，因为是的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选:．14．若，，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．，则 D．若，则【答案】D【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】对于A,若时，则无意义，故A错误，对于B,若时，无意义，故B错误，对于C,若，则或，故C错误，对于D,若，则，故正确，故选：D15．现有下列4个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若且，则；（4）若，则.其中真命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对于（1）（2）（3）通过举反例即可判断，对（4）利用不等式的性质即可证明.【详解】对（1），若，则，故（1）错误，对（2），若，则，故（2）错误，对（3），若，则，故（3）错误，对（4），，则，则，故（4）正确，故真命题的个数为1个，故选：B.16．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同.对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D 三、解答题17．已知都是正实数，比较与的大小．【答案】当时，，当时，.【分析】将与相减并化简，再进行分类讨论判断差的符号，由此确定两者大小关系.【详解】，，因为，所以 当时，，当时，.18．已知命题关于的不等式的解集为A，且；命题关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的范围；（2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据不等式的解集且,代入即可根据命题为真命题求得数的范围.（2）先求得命题和命题都为真命题时的范围,根据补集思想即可求得命题和命题中至少有一个是假命题时的范围.【详解】（1）命题关于的不等式的解集为A,且因为命题为真命题所以解得（2）命题关于的方程有两个不相等的正实数根当命题为真命题时,解得 当命题和命题都为真命题所以所以若命题和命题中至少有一个是假命题则或 所以实数的范围为或【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米.（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.【答案】（1）；（2）当DN的长度为米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米.【分析】（1）设DN的长为x()米，则|AN|＝(x＋2)米,根据比值相等可得，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；（2）利用基本不等式可求得最值.【详解】（1）设DN的长为x()米，则|AN|＝(x＋2)米.因为，所以， 所以矩形AMPN的面积为,由，得，解得或，所以DN的长的取值范围是(单位：米)，（2）矩形花坛的面积为y＝，当且仅当，即时，等号成立，所以当DN的长度为米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米.【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题.20．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集.(1)求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)或或. 【分析】（1）分别解分式不等式、含绝对值符号的不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）根据给定条件，利用集合的包含关系，再分类求解作答.（3）分类解出一元二次不等式，再结合已知求解作答.【详解】（1）解不等式得：，即，则，解不等式得：，即，所以.（2）由得：，不等式化为：，当时，，由（1）知，解得，则，当时，，满足，则，当时，，由（1）知，解得，则，综上得：，所以实数的取值范围是.（3）当时，，而，由得，则；当时，，满足，则；当时，，由得，则，所以实数的取值范围是或或.21．已知代数式和．(1)若，求不等式的解集；(2)若，证明：、中至少有一个数不小于；(3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】(1)分类讨论解绝对值不等式；(2)利用反证法即可证明；(3)根据分类讨论去掉的绝对值，从而只用讨论含一个绝对值的不等式恒成立问题，再进行分类即可求解.【详解】（1），当时，，所以，所以不存在； 当时，，所以，所以；当时，，所以，所以；综上，解集为（2）当时，假设都小于，即 ，此不等式无解，因此假设不成立，所以、中至少有一个数不小于.（3）若，不等式对于任意实数恒成立.①当时，，即，而，故时，恒成立,②当时，，即，而在时恒成立，故只需讨论当时，恒成立，实数满足的条件.  （i）当时，，即，若，要使在上恒成立，不满足，舍去；若，要使在上恒成立，则且；若，要使在上恒成立，则，即；  （ii）当时，，即，由于，得，要使在上恒成立，不满足，舍去； 综上，或，即.【点睛】关键点睛：第3小问解决问题的关键是根据和分类讨论，将不等式中两个绝对值化简为一个绝对值，再对剩余绝对值式子根据绝对值中式子的符号再进行讨论即可求解.