2022-2023学年福建省上杭县第一中学高一上学期期末复习（四）数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省上杭县第一中学高一上学期期末复习（四）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合和，利用交集的定义直接求解即可.

【详解】，，

则，即为.

故选：.

2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，

函数在R上单调递增，而，则，即，

所以.

故选：B

3．设实数满足，函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：A．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

4．函数，的图象形状大致是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.

【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.

故选：D

5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.

【详解】函数的定义域是[1，3]，

∴，解得．

又，且，∴．

故函数的定义域是．

故选：C.

6．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解．

【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，

再把所得图象向左平移个单位，得到，

故选A．

【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．

7．设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.

【详解】∵，

∴，即，

∴

，当且仅当，且时，即

，时等号成立.

故选：.

8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.

【详解】由题意可得，

对于A，是奇函数，故A正确；

对于B，不是奇函数，故B不正确；

对于C，，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C不正确；

对于D，，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D不正确.

故选：A.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】AC

【分析】AC选项用不等式的基本性质进行证明；B选项，用作差法比较大小；D选项，举出反例.

【详解】因为，且，不等式两边同乘以得：；A正确；

，由于，，而可能大于0，也可能小于0，故B选项错误；

由，则，由不等式的基本性质得：，C正确；

当时，满足，，但，D错误.

故选：AC

10．图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据Ven图，分U为全集，B为全集，为全集时，讨论求解.

【详解】由图知：当U为全集时，表示集合A的补集与集合B的交集，

当B为全集时，表示的补集，

当为全集时，表示A的补集，

故选：ABD

11．已知函数，则以下结论正确的是（    ）．

A．函数为增函数

B．，，

C．若在上恒成立，则n的最小值为2

D．若关于的方程有三个不同的实根，则

【答案】BCD

【分析】根据题意，作出可知时，，作出函数的图象，根据数形结合逐项检验，即可得到正确结果.

【详解】设时，则，所以，

又，所以当时，；

当时，则，所以，

又，所以当时，；

当时，则，所以，

又，所以当时，；

所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示：

由图象可知，函数不为增函数，故A错误；

由图象可知，，

所以，，，故B正确；

在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：

由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为2，故C正确；

令，则，则方程等价于

，即，所以，或（舍去），

在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示：

由图象可知，当时， 即时，

关于的方程有三个不同的实根，故D正确.

故选：BCD.

12．规定，若函数，则（    ）

A．是以为最小正周期的周期函数

B．的值域是

C．当且仅当时，

D．当且仅当时，函数单调递增

【答案】AC

【分析】对选项A，直接求出该分段函数就可判断；对选项B，求出该函数的最小值为；对选项C，根据正弦函数和余弦函数性质即可；对选项D，求出函数的单调区间即可；

【详解】根据题意，当（）时，；

当（）时，；

对选项A，的周期为，故正确；

对选项B，根据正弦函数和余弦函数的性质，可知的最小值在（）处取得，即有，因此值域不可能为，故错误；

对选项C，函数的特点知，当且仅当在第三象限时，函数值的为负，故正确；

对选项D，当时，函数也单调递增，因此选项遗漏了该区间，故错误；

故选：AC

三、填空题

13．________．

【答案】

【分析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.

【详解】.

故答案为：.

14．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0.

【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.

故答案为：

15．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．

【答案】或

【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

【详解】令，记的零点为，

因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，

则，或或

当时，得，，满足题意；

当时，得，，满足题意；

当时，，解得.

综上，t的取值范围为或.

故答案为：或

16．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________.

【答案】

【分析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.

【详解】设等边三角形的边长为，则，解得，

所以，由弧与所围成的弓形的面积为，

所以该勒洛三角形的面积.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合或，全集.

(1)若，求;

(2)若⫋，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可；

（2）根据题意得或，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：当时，

所以，

又或，

所以.

（2）解：因为，或,⫋，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是.

18．已知函数为奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a的值；

（2）先求解定义域，然后参变分离后求出的取值范围，进而求出实数m的取值范围.

【详解】（1）由题意得：，即，解得：，

当时，，不合题意，舍去，

所以,经检验符合题意；

（2）由，解得：，由得：或，

综上：不等式中，

变形为，

即恒成立，

令，当时，，

所以，实数m的取值范围为.

19．已知函数．

(1)当时，求的值域；

(2)若关于x的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及辅角公式对函数进行化简，并把看成整体结合正弦函数性质在定区间内求值域；（2）首先把转化为：，又只有一个实根，故在有两个不相等的实根，再结合正弦函数图象进行求解.

【详解】（1）．

，，

因此可得：，

故的值域为．

（2），，

或，故或．

，，

只有1个实根，有2个不同的实根，

结合正弦函数图象可知，解得，故实数m的取值范围是．

20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知．

(1)利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；

(2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)为单调递减函数，不等式的解集见解析.

【分析】（1）利用已知条件令，求出的解析式，利用奇函数的定义判断为奇函数，即可得证；

（2）由（1）得，原不等式变成，利用函数的单调性化为含有参数的一元二次不等式，求解即可.

【详解】（1）证明：∵，令，

∴，即，

又∵，

∴为奇函数，

有题意可知，的图象关于成中心对称图形；

（2）易知函数为单调递增函数，且对于恒成立,

则函数在上为单调递减函数，

由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即，

不等式得： ，

即，则，

整理得，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

21．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）

(1)求，关于x的函数关系式；

(2)求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．

【答案】(1)，

(2)13分钟

【分析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出 和 的方程即可；

（2）根据零点存在定理判断即可.

【详解】（1）可设，

∵转动的周期为30分钟，∴，

∵枢轮的直径为3.4米，∴，

∵点P的初始位置为最高点，∴，

∴，

∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，

∵水位以每分钟0.017米的速度下降，

∴；

（2）P点进入水中，则，即．

∴．

作出和的大致图像，显然在内存在一个交点．

令，

∵，

，

∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；

综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.

22．已知函数，．

(1)求证：为奇函数；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；

（2）原不等式等价为对恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；

（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.

【详解】（1）函数，

由解得或，可得定义域，关于原点对称，

因为，

所以是奇函数；

（2）由或，解得，

所以恒成立，即，

则，即对恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即的取值范围为；

（3）不等式即为，

设，即，可得在上递减，

所以，则，解得，

所以不等式的解集为.