2022-2023学年甘肃省庆阳市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省庆阳市高一上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省庆阳市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（    ）A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题.故选:B.2．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求集合中函数的值域，解集合中一元二次不等式，得到两个集合，再求【详解】函数值域为，∴，不等式解得，∴，则.故选：C3．下列函数为增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；函数在上为减函数，不符合题意；根据幂函数的性质知为增函数.故选:B.4．函数的部分图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.【详解】函数的定义域为，，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足；又，所以选项B不满足，选项A符合题意.故选：A5．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可.【详解】因为，，，所以.故选:D.6．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，可转化为，根据单调性即可求解.【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，所以.因为，所以为奇函数，且在上单调递增，所以可化为，可得，解得，所以的取值范围为.故选:C.7．下列式子中，可以是函数为奇函数的充分必要条件为（    ）A． B．C．， D．，【答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可．【详解】若为奇函数，则，解得；当时，有，则函数为奇函数.所以函数为奇函数的充分必要条件为，故选：C8．已知函数满足，若与的图像有交点，，，则（    ）A． B．0 C．3 D．6【答案】C【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值.【详解】由可得，函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称，函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关于点对称，若与的图像有交点，，，不妨设，由对称性可得，，，，所以.故选：C 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，则C．若且，则 D．若正数a，b满足，则【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项.【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误；当时，，C错误；正数a，b满足，则，当且仅当时，等号成立，D正确.故选：AD.10．设函数，则（    ）A．是偶函数 B．在上单调递减C．的最大值为 D．是的一个零点【答案】AC【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为定义域上的偶函数，A选项正确；令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当时，为减函数；在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误；由函数单调性可知，最大值为，C选项正确；，解得，则的零点为，D选项错误.故选：AC.11．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（    ）（参考数据：，）A．选择函数模型①B．选择函数模型②C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟【答案】AD【分析】将分别代入与，从而可判断AB；解不等式可得判断CD.【详解】将代入，得；将代入，得.故选择函数模型①.由，可得，故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分.故选:AD.12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ）A． B．的值域为C．在上有5个零点 D．，方程有两个实根【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A错误；当时，，当时，，；当时，，……以此类推，可得的图象如下图所示，由图可知，的值域为，选项B正确；由图可知，在上有6个零点，选项C错误；，函数与的图象有两个交点，如下图所示，即方程有两个根，选项D正确．故选：BD 三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.【答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】.故答案为：.14．已知，则__________.【答案】##【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.【详解】已知，因为，所以令，则，则.故答案为：15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为__________．【答案】【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当时，，令，得，若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点，当时，，所以，即.若，即时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，所以，即，又，所以.综上所述：的取值范围为.故答案为：. 四、双空题16．已知函数是奇函数，当时，，，则__________.当时，__________.【答案】     ##     【分析】利用是奇函数，由，代入函数解析式解出的值；由时的函数解析式利用奇函数的性质求时的解析式.【详解】因为是奇函数，所以，解得；因为当时，，当时，，则.故答案为：； 五、解答题17．已知是第二象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解；（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.【详解】（1）由，可得，即，解得或.因为是第二象限角，所以.（2）.18．已知函数的定义域为集合，集合.(1)当时，求；(2)若命题：，是假命题，求的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出函数的定义域可得集合，代入，根据集合的补集与并集运算即可求解；（2）由题意可得，分与讨论列式即可求解.【详解】（1）要使函数有意义，则解得，所以集合，.因为，所以.（2）因为命题：，是假命题，所以.当时，，解得；当时，则或，解得.综上，的取值范围为.19．已知幂函数在上单调递增.(1)求的值域；(2)若，，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解即可；（2）由题意可得，，根据二次函数的性质求出的最大值即可.【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，所以，解得，所以.故的值域为.（2）由题可得，，则，当时，有最大值2，则，即的取值范围为.20．已知函数.(1)证明：当时，在上至少有两个零点；(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，，因为，，，所以，，因此，，，，即在上至少有两个零点.（2）当时，，易知在上单调递增.又，，即的值域为,且关于的方程在上没有实数解，所以的取值范围为.21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足，则称为“类指数函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由；(2)若为“类指数函数”，求a的取值范围．【答案】(1)不是 “类指数函数”(2) 【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步化简、换元转化为一元二次方程求解.【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程，.由于函数与在R上均单调递增，所以在R上均单调递增，至多有一个零点，所以不是 “类指数函数”.（2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，整理得，设，则方程有两个不等的正根，，由，解得或；由，解得；由，解得.所以.故a的取值范围．22．已知函数的部分图像如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的单调递增区间；(3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；（3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【详解】（1）由图可知，，则，，所以，.所以，即又，所以当时，，所以.（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为（3）由，得，由，得，所以，所以.又，得，所以.由题可知，得，解得，所以存在，使得成立.