2022-2023学年广东省广州大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州大学附属中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为或，解得或即，因为，所以当时，，满足要求.当时，则，由，可得，即当时，则，由，可得，即综上所述，故选:B.3．周期为的函数（，）的部分图像如图所示，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数周期求得，结合图像知，从而求得.【详解】函数周期为，则，，则，，又，则故选：C4．设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在上单调递增，结合零点存在性定理，函数在上存在零点，需，求解即可.【详解】函数在上递增，则函数在上存在零点，需，解得.故选：B.5．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究在的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.【详解】当时，，由，得，不符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，所以；当时，函数在区间上单调递减，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，不符合题意；综上：实数的取值范围是.故选：B6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知，，，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，所以，解得，则，所以要使得该茶降至，即，则有，得，故，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（    ）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由，得，即，所以，所以函数的周期为，又为偶函数，则，所以，所以函数也为偶函数，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故选：.8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、多选题9．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当时，则，又函数在上是减函数，所以，，A错误，B正确；是减函数，所以，C错误，也是减函数，所以，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用，难度一般.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ）A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面米时用时25秒【答案】BCD【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，由，所以，又角速度弧度/秒，时，，所以，，所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；将代入中，得，或，即，或．所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．故选：BCD．11．已知函数，其中，且的，若对一切恒成立，则（    ）A． B．C．是奇函数 D．是奇函数【答案】BC【分析】由，可知为的一条对称轴，结合辅助角公式，可得，进而可得，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，，因对一切恒成立，故，即，计算得，故.对于选项A，，，虽然，但时正负不知，故与无法比较大小，故A错；对于选项B，因，所以，故B正确；对于选项C，因，所以为奇函数，故C正确；对于选项D，，所以为偶函数，故D错.故选：BC.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成的形式，再结合的图像性质即可解决.12．设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（    ）A．函数是周期函数，且周期为B．函数的最大值是，最小值是C．当时，D．函数在上单调递增，在上单调递减【答案】BD【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知可得，则，故函数是周期函数，且周期为，A选项错误；对于B选项，当时，，由于函数为偶函数，则当时，，所以，当时，，由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确；对于C选项，当时，，当时，，则，C选项错误；对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减，由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：14．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】【分析】根据题意得，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设，因为弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，所以，所以阴影部分的面积为 所以弧田的面积是.故答案为：15．已知正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【分析】由，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.16．已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】令，则方程转化为，原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令，则方程转化为，    作出函数的图象如下图所示，由题意，方程有五个不相等的实数根，即有一个根，一个根 或有一个根，一个根令，当有一个根，一个根则解得：，当有一个根，一个根则解得：，综上，实数m的取值范围为 故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题17．已知函数．（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值．【详解】（Ⅰ）．令，，得，．令，得；令，得.因此，函数在区间上的单调递增区间为，；（Ⅱ）由，得．，，又，，．因此，．【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为在上恒成立，分与两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)时，函数定义域为    解得      不等式的解集为    (2)设，由题意知，解得 ，在上恒成立在上恒成立令，的图象是开口向下，对称轴方程为的抛物线.  ①时，在上恒成立等价于解得，这与矛盾. ②当时，在上恒成立等价于解得或又        综上所述，实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：由题意转化为在上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在上的最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.19．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，然后将图象上的每个点横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位长度后，得到函数的图象，图象关于轴对称且经过坐标原点.(1)求和的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由题可得周期进而得，然后利用图象变换规律可得，然后根据三角函数的性质结合条件即得；（2）设，恒成立，可得，即得.【详解】（1）由题可得函数的最小正周期为，又，所以，即，，由题可得，又图象关于轴对称且经过坐标原点，所以，即，，当时满足条件，即，又，故，故，；（2）由，可得，故，，设，即恒成立，设，则的最大值小于等于零即可，故满足， 即 ，解得，即实数的取值范围为.20．已知在定义域内单调的函数满足恒成立.(1)设，求实数的值；(2)解不等式；(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值.【答案】(1)(2)(3)，当且仅当时等号成立， 【分析】（1）由题意列方程求解，（2）由函数的单调性转化后求解，（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，【详解】（1）由题意得，，由于在上单调递增，观察得的解为，（2）由于在定义域内单调，所以为常数，由（1）得，在上单调递增，，故原不等式可化为，由得，故原不等式的解集为（3）可化为对恒成立，设，则，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故当时， ，故，当且仅当时等号成立，