2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合，由交集的定义即可得出答案.【详解】，，则.故选：A.2．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.【详解】∵，∴，，∴且，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．命题“，，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.故选：B4．不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ；故选：D.5．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.故选：A6．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解.【详解】由以及扇形的面积公式可得: ,故选：D7．已知角的终边过点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，然后利用诱导公式求得正确答案.【详解】由于角的终边过点，所以，.故选：D8．已知函数是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函数的单调性，且.根据奇偶性可得即为，根据单调性即可求解.【详解】时，，可得在上单调递减，因为函数是上的奇函数，所以在上也单调递减.，可转化为,可得.令，可得,故.故由，可得或,解得或，故不等式的解集为.故选:D. 二、多选题9．下列命题中正确的是（    ）A．时，的最小值是2B．存在实数，使得不等式成立C．若，则D．若，且，则【答案】BCD【分析】根据基本不等式的取等条件可判断A；取可判断B；作差可判断C；利用基本不等式可判断D.【详解】当时，，当且仅当时等号成立，故时，取不到最小值2，故A错误；当时，,故B正确；,故，故C正确；，，则,解得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选:BCD.10．下列结论正确的是（    ）A．函数且的图像必过定点B．若且，则C．已知函数，则方程的实数解为D．对任意，都有【答案】AC【分析】令可判断A；当时可判断B；令可得，从而可判断C；当时可判断D.【详解】对于A，令,可得,故函数的图象必过定点，故A正确；对于B，若,函数单调递减，由 可得，故B错误；对于C，令，可得,解得，故C正确；对于D，当时，，所以,故D错误.故选:AC.11．下列等式成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根据诱导公式可判断A；根据两角差的余弦公式可判断B；根据两角差的正切公式可判断C；根据两角和的正弦公式可判断D.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选:ABC.12．已知函数，则方程的实根个数可能为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【解析】以的特殊情形为突破口，解出或或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得或，作出函数的图像，如下： ①当时，或，故方程的实数根个数为；②当时，或或，故方程的实数根个数为；③当时，或或或，故方程的实数根个数为；④当时，或或或，故方程的实数根个数为；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，，故方程的实数根个数为；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题. 三、填空题13．函数的定义域为____________.（用区间表示）【答案】【分析】根据分母不为0，偶次根式的被开方非负列式可求出结果.【详解】由函数有意义，得，解得且.所以函数的定义域为.故答案为：14．已知，则__________.【答案】##0.8【分析】将条件由辅助角公式化简，将条件由二倍角公式化简，再代入即可得出答案.【详解】，由辅助角公式可得，即，，故答案为：.15．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）【答案】【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，，至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.故答案为：.16．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】将不等式等价转化为，根据函数的单调性与最值接不等式即可求解.【详解】根据不等式恒成立恒成立可知，由可得，所以，即，即，先解，即，也即，设函数，令，则，根据双勾函数的性质可得在单调递增，当时，有最小值为4，所以，再解，即，也即，令，则，所以，设函数，根据双勾函数的性质可得在单调递增，当时，有最大值为，所以，所以，故答案为: . 四、解答题17．（1）求值：；（2）设，且，求的值.【答案】（1）18；（2）500.【分析】（1）根据指对数的运算性质即可求解；（2）根据指对互化可得，代入，根据换底公式即可求解.【详解】（1）.（2）由，可得,所以，解得.18．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）令即可求得单调递增区间；（2）由，得，画出在的图象，可得，从而可求解.【详解】（1）令，解得.故的单调递增区间为.（2）因为，所以.画出在的图象如图所示：所以，解得.故的取值范围为.19．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：2345684 根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③.(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.【答案】(1);(2). 【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故选择函数.（2）由题意可得，解得，所以.令，解得.故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.20．已知两个变量且满足关系式，且是的函数.(1)写出该函数的表达式，值域和单调区间（不必证明）；(2)在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）.【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）由两边取以为底的对数可求的解析式，再根据对数函数的性质即可求单调区间与值域；（2）根据解析式与单调性即可画出图象.【详解】（1）由，可得,即且,故且.当时，单调递增，故单调递减；当时，单调递增，故单调递减.故的单调递增区间为，，无单调递减区间.当时，，故；当时，，故.故函数的值域为.（2）函数且的图象如图所示;21．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)令，求的最小值.【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数的最小正周期；（2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性质即可求最小值.【详解】（1），所以函数的最小正周期为.（2）由，可得，所以.令,则，令，其对称轴为，①当，即，在上单调递增，所以；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；③当，即时，在上单调递减，所以.综上所述， 故22．给定常数，定义在上的函数.(1)若在上的最大值为2，求的值；(2)设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式可得，设，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解；（2）由题意可得有两个不等的实数根， .分与讨论，结合正弦函数的图象即可求解.【详解】（1），设，则，的开口向下，对称轴为，当，即时，，又，所以，解得，与矛盾.当，即时，当时，，又，所以，解得.综上所述，.（2），令，，则.因为，所以有两个不等的实数根，且，所以.又，当时，时，有2个根；时，有2个根；故时，有4个根.因为在区间内恰有2022个零点，所以.当时，时，有1个根；时，有2个根；故时，有3个根.因为在区间内恰有2022个零点，且，所以.综上所述，的值为或.【点睛】关键点睛：二次函数与正弦型函数的复合问题，求值域可利用换元法，转化为二次函数求值域，单调性问题需要结合正弦函数及二次函数的单调性.