2022-2023学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022学年第一学期天河区期末考试高一数学

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则A∩B=（）

A. [-1，1) B. {-1，0} C. [-1，2] D. {-1，0，1，2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：B

2. 下列命题为真命题的是（）

A. 若，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用特值法和作差法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，若，，则，故A错误；

对选项B，若，，，，满足，，

则，故B错误.

对选项C，.

因为，，所以，，则，即，

故C正确.

对选项D，因为，所以，故.

所以，所以，故D错误.

故选：C

3. 下列选项中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】分别判断函数的定义域、对应关系、值域即可得结果.

【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故A错误；

对于B，与的定义域、对应关系均相同，即为同一函数，故B正确；

对于C，的定义域为，的定义域为，故C错误；

对于D，的定义域为，定义域为，故D错误，

故选：B.

4. 函数的一部分图象如下图所示，此函数的解析式为（）

A.  B.

C D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数图像得到,再利用“五点作图法”得到，故求得答案.

【详解】由函数的图像可知，,,故，解得，由“五点作图法”得，解得，所以.

故选A.

5. 计算的值为（）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数和对数的运算法则，直接计算可得答案.

【详解】.

故选：D.

6. 某商场春节前天年糕销售总量，则该商场前天的年糕平均销售量最少为（）

A. 18 B. 27 C. 20 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出该商场前天的年糕平均销售量的表达式，再根据基本不等式即可得出答案.

【详解】解：因为某商场春节前天年糕销售总量，

所以该商场前天的年糕平均销售量为，

当且仅当，即时，取等号，

所以该商场前天的年糕平均销售量最少为.

故选：C.

7. 已知角α的顶点与直角坐标系原点重合,始边与x轴非负半轴重合,其终边上有一点),且,若,则α=（）

A. θ B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据点在角α终边上,利用正弦函数余弦函数的定义,写出其等式,将代入进行化简,即可求得结果.

【详解】解:因为,所以,

因为点在角α终边上,

所以,

,

因为,所以.

故选:D

8. 已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先确定的范围，再构造函数，比较的大小关系，即可比较的大小.

【详解】，，所以

，

设函数，

由在定义域内单调递增可得单调递增，

，

因为，所以，

所以，而，所以，

因为，

所以，

综上可知，.

故选：A

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列说法正确的是（）

A. 命题“函数的定义域为”是真命题

B. “”是“”为成立的充要条件

C. “”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件

D. 命题“，”的否定是“，”

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正切函数的定义域、充分与必要条件、全称量词命题与存在量词命题的知识确定正确答案.

【详解】A选项，由解得，

所以函数的定义域为，A选项正确.

B选项，时，，，所以B选项错误.

C选项，对于函数，

当时，只有一个解；

当时，要使只有一个零点，则.

所以“”是“函数只有一个零点”充分不必要条件，C选项正确.

D选项，命题“，”的否定是“”，D选项错误.

故选：AC

10. 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位:m2）与时间t(单位:月)的关系为(，且).下列说法正确的是（）

A. 浮萍每月的增长率为

B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2

C. 浮萍每月增加的面积都相等

D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是，则

【答案】BD

【解析】

【分析】由图像过点，可得函数关系式，再由，可判断A；当时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得，可判断D.

【详解】图像过点，，即，，∵，∴每月的增长率为1，A错误；

当时，，∴B正确.

∵第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加，∴C不正确；

∵，，，，，，，D正确.

故选：BD.

11. 已知函数，下列关于函数f(x)说法正确的是（）

A. 最小正周期为π

B. 图象关于直线对称

C. 图象关于点对称

D. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数f(x)的图象

【答案】BD

【解析】

【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案.

【详解】的最小正周期，A选项错误.

，所以图象关于直线对称，B选项正确.

由于，，

所以图象关于点对称，C选项错误.

函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，

再向上平移1个单位长度可得到，D选项正确.

故选：BD

12. 已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，则下列说法正确的是（）

A.  B.  C.  D. m可以取到3

【答案】BCD

【解析】

【分析】画出图像，令，由图像可得方程解的个数，则有4个不同实数解，相当于图像与直线交点个数之和为4.后依次分析各选项即可.

【详解】令，可得.

又，可得图像如下.

令，则方程解的个数为图像与直线交点的个数.

则时，解的个数为2；时，解的个数为3；，解的个数为2；

时，解的个数为1.

,此方程判别式大于0，则方程有两根，

由韦达定理，.又有4个不同实数解，相当于图像与直线交点个数之和为4.

由以上分析可知，，，满足题意.

A选项，因，，则，

由图可得，即.

故A错误；

B选项，由图像可得，故B正确；

C选项，由图像可得，

.

故C正确.

D选项，当时，，可解得，

，.即此时符合题意.故D正确.

故选：BCD

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得方程的解，再利用韦达定理求得，最后根据一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】解：因为不等式的解集为，

所以且方程的解为，

则，所以，

则不等式即为不等式，解得，

即不等式的解集为.

故答案为：.

14. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据幂函数的概念，求得，再结合幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，

当时，函数在区间上单调递增，符合题意；

当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，

所以实数的值为.

故答案为：.

15. 若函数为奇函数，则__________（结果用数字表示）.

【答案】

【解析】

【分析】先由函数为奇函数可得，求出，再将代入即可得解.

【详解】解：因为函数为奇函数，

所以，

即，解得，

经检验，符合题意，

所以，

所以.

故答案为：.

16. 如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为θ，且，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，当tan∠POC=__________时，矩形ABCD的周长最大，最大周长为__________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】设，利用表示出矩形的周长，结合三角函数的性质求出最值即可.

【详解】设，

则，

所以，

所以矩形的周长为，

其中，则，

所以当时，矩形的周长最大，

此时，

且矩形周长的最大值为.

故答案为：；.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知全集，集合，集合，其中.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

分析】（1）确定，，再计算补集得到答案.

（2）根据充分条件得到，得到，解得答案.

【小问1详解】

，故，，

【小问2详解】

“”是“”的充分条件，故，故，

解得，故a取值范围是

18. （1）化简:；

（2）已知，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可；

（2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.

【详解】（1）；

（2）因为，

所以，，

所以，

，

所以.

19. 已知函数.

（1）证明:函数为奇函数；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.

【答案】（1）证明见解析

（2）在区间上是增函数；证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义证明即可；

(2)根据函数的单调性的定义证明即可.

【小问1详解】

函数的定义域为，关于原点对称，

函数，又

所以，函数为奇函数.

【小问2详解】

在区间上是增函数.

证明：对于任意且，

作差：，

,

，

即，

函数在区间上是增函数.

20. 已知函数.

（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）若函数在区间(0,)上有两个零点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即可；

（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性求出值域，即可求出实数k的取值范围．

【小问1详解】

，

令，

解得，

则的单调递减区间为；

【小问2详解】

函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，，，

要使在上有两个解，则.

即k的取值范围为.

21. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．

（1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；

（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．

（参考数据:，，）

【答案】（1）应选函数模型是(且)；

（2）2028年底

【解析】

【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是(且)，由待定系数法即可求得函数关系式；

（2）设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果．

【小问1详解】

根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是(且)，

由题意得，得，所以，

【小问2详解】

设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，

则有，

设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，

则有，

化简得，

解得，

故设从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．

22. 已知函数，.

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】(1)利用函数单调性定义法表示出，然后根据已知的单调性，得出，再利用即可得出结果.

(2)根据为偶函数，求出，而后利用已知相关对数式子有意义，以及转化不等式恒成立得到，进而求解的范围.

【小问1详解】

任取，，且，

则

，

函数在上单调递减，

，又，

，，

恒成立，即，

，，

故的取值范围为.

【小问2详解】

为偶函数，，

，，

，

，

当且仅当即时，等号成立，

的最小值为，

由题意可得，对任意恒成立，

即，

即对任意恒成立，

由有意义，得，

由有意义，得在恒成立，

即在上恒成立，设，

易知在上的值域为，

故，所以，

又，

即，

，

，，

又，

，

综上，实数的取值范围为.