2022-2023学年广东省广州市西外高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市西外高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由补集的概念得到，再由并集的概念得到结果即可．

【详解】根据题意得，则．

故选：C．

2．已知角的终边经过点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数的定义，列出方程，解之可得选项.

【详解】由题意，得，

根据三角函数的定义，可得且，解得.

故选：C.

3．已知命题，则是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定的书写规则来确定答案.

【详解】命题，则是：

故选：C.

4．已知是第二象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简，可得，再根据是第二象限角，所以，再利用即可得解.

【详解】，，

是第二象限角，，．

选：A．

5．为了得到函数的图象，只需把的图象上的所有点（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】利用三角函数图象的平移规律可得结论.

【详解】因为，

所以，为了得到函数的图象，只需把的图象上的所有点向右平移个单位.

故选：D.

6．已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【详解】

，选C.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出，，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，；

所以

.

故选：D.

8．当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（    ）（参考数据：，)

A．年 B．年 C．年 D．年

【答案】B

【分析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为，经过年后变成了，即可列出等式求出的值，即可求解.

【详解】解：根据题意可设原来的量为，

经过年后变成了，

即，

两边同时取对数，得：，

即，

，

，

以此推断此水坝建成的年代大概是公元前年.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．当，且时，的最小值是4

B．当时，的最大值是

C．当时，的最小值是2

D．当时，的最小值是2

【答案】BD

【分析】对于选项A，可以通过取特值判断；对于选项BD，可以利用基本不等式求解；对于选项C，可以利用函数的单调性判断得解.

【详解】对于选项A，取，此时，故选项A错误；

对于选项B，，（当且仅当时等号成立），故选项B正确；

对于选项C，当时，，设，函数在上单调递减，所以无最小值，所以选项C错误；

对于选项D，可得，，当时取等号，故选项D正确.

故选：BD

10．已知函数，则（    ）

A．的最大值是2 B．的最小正周期为

C．在上是增函数 D．的图像关于点对称

【答案】AC

【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出的单调递增区间，即可判断.

【详解】解：对A，，

故当时，，故A正确；

对B，的最小正周期，故B错误；

对C，令，

解得：，

故的单调递增区间为：，

当时，的一个单调递增区间为：，

故在上单调递增，故C正确；

对D，令，

解得：，

故的对称中心为：，

令，

即，

解得：，

故不是的对称中心，故D错误.

故选：AC.

11．下列命题中是假命题的是（    ）

A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的充要条件

【答案】ACD

【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义逐一判断选项即可.

【详解】对于选项A，“”“”，则“”是“”的必要不充分条件，即该命题为假命题，故A正确；

对于选项B，“”“”，则“”是“” 的必要不充分

条件，即该命题为真命题，故B错误；

对于选项C，函数为单调递减函数，当时，，即该命题为假命题，故C正确；

对于选项D，当，，但，即该命题为假命题，故D正确，

故选：.

12．设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（    ）

A．函数是周期函数，且周期为

B．函数的最大值是，最小值是

C．当时，

D．函数在上单调递增，在上单调递减

【答案】BD

【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由已知可得，则，

故函数是周期函数，且周期为，A选项错误；

对于B选项，当时，，

由于函数为偶函数，则当时，，

所以，当时，，

由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确；

对于C选项，当时，，

当时，，则，C选项错误；

对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减，

由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确.

故选：BD.

三、填空题

13．函数的定义域是____________.

【答案】

【分析】利用对数函数的定义域列出不等式组即可求解.

【详解】由题意可得，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．求值：__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式，将所求的式子的角化为，再由同角间的三角函数关系，即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

15．已知函数，若，，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】，，分离参数，得到，求出的范围，即可得出结论.

【详解】，恒成立，

即恒成立，

设在单调递减，所以，

所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】     (1,4)    

【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

五、解答题

17．已知1与2是三次函数的两个零点.

（1）求的值；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据函数零点的定义得，解方程即可得答案；

（2）由（1）得，进而根据二次函数性质解不等式即可.

【详解】解：（1）因为1与2是三次函数的两个零点

所以根据函数的零点的定义得：，解得：.

（2）由（1）得，

根据二次函数的性质得不等式的解集为：

所以不等式的解集为

18．问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：

，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.

【答案】答案见解析

【分析】由，可求得，由条件可得函数的对称轴，又的最大值为4，可得关于的方程组，求解即可.

【详解】解：由，可求得，则

若选择① 对任意都成立

可得的对称轴为，所以1，又的最大值为4，可得且，即，解得，此时；

若选择函数的图像关于轴对称

可得的对称轴为，则2，

又f（x）的最大值为4，可得且，即，解得a，，此时

若选择③ 函数f（x）的单调递减区间是，

可得f（x）关于x对称，则，

又的最大值为4，可得且，即

解得，此时

19．已知函数(，且).

（1）求的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数.

【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由求解.

（2）利用函数奇偶性的定义判断，设，则在和上均为减函数，再分，，利用复合函数的单调性求解.

【详解】（1）∵(且)，

∴，即，

解得或，

故函数的定义域，

（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，

∵，

∴函数为奇函数，

设，则，

因为函数u在和上均为减函数，

当时，函数在为增函数，

所以函数在，上为减函数，

当时，函数在为减函数，

故函数在，上为增函数.

【点睛】方法点睛：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．

20．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间和对称中心；

（2）当时，解不等式的值域；

（3）当时，解不等式.

【答案】（1）单调递增区间为，对称中心为；

（2）；（3）.

【分析】（1）由，根据三角函数的递增区间和对称中心即可得解；

（2）由，可得，所以即可得解；

（3）由时，求出整体范围，若要，

只要，求解即可.

【详解】（1）

，

由

解得，

所以，

由可得，

所以对称中心为；

（2）由，可得，

所以，

所以的值域为；

（3）当时，，

由可得：，

则，

根据正弦函数的图像与性质可得：,

解得的取值范围为.

21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.

（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.

【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；

（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.

【详解】（1）当时，；

当时，

∴

（2）当时，；

当时，取最大值万元；

当时， ，

当且仅当时，取等号

综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.

【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.

22．已知函数（，且）.

（1）若，试比较与的大小，并说明理由；

（2）若，且，，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域.

【答案】（1）当时，；当时，；（2）；

【分析】（1）根据题意分别代入求出，再比较的大小，利用函数的单调性即可求解.

（2）先表示出的表达式，再根据函数的单调性求的值域.

【详解】解：（1）当时，在上单调递减；

，

，

又，

，

故；

同理可得：当时，在上单调递增；

，

，

又，

，

故，

综上所述：当时，；当时，；

（2）由题意可知：

，，

，故在上单调递增；

令，，

当时，在上单调递增；

故在上单调递减；

故在上单调递减；

故，

故的值域为：.