2022-2023学年广东省广州外国语学校高一上学期期末数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省广州外国语学校高一上学期期末数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州外国语学校高一上学期期末数学试题 一、单选题1.设集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】先化简得,再利用交集的定义求解.【详解】解:由题得,所以.故选:B2.已知集合,,若“”是“”的充分不必要条件,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据“”是“”的充分不必要条件,转化为AB,利用集合之间的包含关系,即可求出的取值范围.【详解】解:,解得,即,若“”是“”的充分不必要条件,则AB,且等号不同时成立,解得,所以的取值范围为,故选:A.3.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】对于A,利用诱导公式化简,可判断是否符合条件;对于B,定义域中不含零,可判断不符合条件;对于C,根据其奇偶性可判断;对于D,判断该函数的奇偶性可知是否满足条件.【详解】是奇函数,在 上单调递增,故在上是增函数,故A满足条件;定义域内不能取到零,在内x=0时无意义,故B不满足条件;对于满足 是偶函数,故C不满足条件;对于, ,结果不是恒等于零,故不是奇函数,故D不满足条件,故选:A.4.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为,记,则的值为( )A.-1 B.-2 C.0 D.1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得,即有,将目标式由弦化切求值即可.【详解】以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为:,,由面积之比为,得:,即,在中,,则,故选:A.5.已知定义在上的函数在上单调递增,若,且函数为偶函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于直线对称,可得出函数的单调性,分析的符号变化,由可得或,解之即可.【详解】因为函数为偶函数,则,故函数的图象关于直线对称,因为函数在上单调递增,故函数在上单调递减,因为,则,所以,由可得,由可得或,解不等式,可得或,解得或,故不等式的解集为.故选:D.6.若,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数,,的单调性可知,,,故.故选:D7.函数的图象在[0,2]上恰有两个最大值点,则ω的取值范围为( )A.[π,2π) B. C. D.【答案】D【分析】首先代入求的取值范围,再根据三角函数的图象,列式求的取值范围.【详解】当时,,若函数在此区间恰取得两个最大值,则,解得:.故选:D8.对于,定义运算“”:,设,且关于的方程恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是( )A. B.C. D.(1,2)【答案】A【解析】由题设写出的解析式,,再结合函数图像可知,再求出的范围,即可求得结果.【详解】由题设知化简整理得:,画出函数的图像,如下图由,当关于的方程恰有三个互不相等的实数根时,t的取值范围是,设,则是的两个根,关于对称,故,下面求的范围:,解得:,,,故所以故选:A.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,利用数形结合的方法求解. 二、多选题9.下列说法正确的是( )A.若(x>0,y>0),则x+y的最小值为4B.扇形的半径为1,圆心角的弧度数为,则面积为C.若,则D.定义在R上的函数为偶函数,记,则a<b<c【答案】ABC【分析】对于A,直接利用基本不等式求解即可;对于B,直接根据扇形的面积公式求解;对于C,利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解;对于D,利用偶函数,可得,解得,可得,再利用函数的性质即可比较大小.【详解】对于 :因为(x>0,y>0),当且仅当时取等号,则x+y的最小值为4,故正确;对于,扇形的半径为1,圆心角的弧度数为,面积为,.该扇形的面积为,故正确;对于:,.,,,故正确;对于:定义在上的函数为实数)为偶函数,,,..所以函数在上单增,,又所以;,故错误.故选:.10.设、、为实数且,则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】CD【分析】取,可判断A选项;利用对数函数的基本性质可判断B选项;利用指数函数的单调性可判断C选项;利用不等式的基本性质可判断D选项.【详解】对于A,若,则,所以A错误;对于B,函数的定义域为,而、不一定是正数,所以B错误;对于C,因为,所以,所以C正确;对于D,因为,所以,所以D正确.故选:CD11.设函数的图象为曲线,则下列结论中正确的是( )A.是曲线的一个对称中心B.若,且,则的最小值为C.将曲线向右平移个单位长度,与曲线重合D.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,与曲线重合【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,得出结论.【详解】函数的图象为曲线,令,求得,为最小值,故的图象关于直线对称,故A错误;若,且,则的最小值为,故B正确;将曲线向右平移个单位长度,可得的图象,故C错误;将曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可得的图象,与曲线E重合,故D正确,故选:BD.12.已知函数和的零点分别是和,则下列结论正确的有( )A. B.C. D.【答案】ABD【分析】根据函数的零点、函数图象的对称性化简已知条件,结合图象、零点存在性定理、不等式的性质等知识求得正确答案.【详解】由得;由得,和的图象关于直线对称,直线和直线垂直,也即直线的图象关于对称.由解得,设.设直线与的图象交于点,①,设直线与的图象交于点,②,则,A选项正确.,而①-②得,对于函数,在上递增,,所以,所以,B选项正确.对于函数,在上递增,,所以,所以,C选项错误.,则,所以,对于和,两者分别平方得,所以.而,,D选项正确.故选:ABD【点睛】本题解题的突破口在于数形结合的思想方法,首先要注意观察题目所给已知条件间的联系,转化后画出相应函数的图象,结合图象分析对称性、零点等,从而达到解题的目标. 三、填空题13.已知 =,则的值是____.【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.【详解】故答案为:【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.14.已知(,为常实数),若,则___________.【答案】【分析】由得出,进而得出.【详解】,,∴,∴,∵,∴.故答案为:15.若直线与函数的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.【答案】【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.【详解】直线与的图象有两个公共点,故有两个不同的解,故和共有两个不同的解,因为,故有且只有一个实数解.若,则,故无解,而只有一个解,故有且只有一个实数解,与题设矛盾,舍;若,因为只有一个解,故需有一解,故,故.故答案为:.16.如下图,是边长为的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为,现给出函数的四个性质,其中说法正确的是__________.①②在上单调递增③当时,取得最大值④对于任意的,都有【答案】②④【分析】先分析出,再根据分段函数性质依次判断即可【详解】由题可知,所在直线为,所在直线为则当时,;当时,;则,①当时,,故①错误;②易知,在上单调递增,在上单调递增,且,则在上单调递增,故②正确;③因为在上单调递增,则无最大值,故③错误;④由题,当时,,当时,,则,当时,,则,当时,,则,故④正确;故答案为②④【点睛】本题考查分段函数的应用,考查二次函数单调性与最值问题,考查求函数值,考查运算能力 四、解答题17.已知集合,,,全集(1)求,;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2) 【分析】(1)根据偶次根式被开方数大于等于零,进而解一元二次不等式分别求得集合,由并集、补集和交集的定义可得结果;(2)由可得的范围,取补集即可得到时的范围.【详解】(1)由得:,即;由得:,即,;,.(2)由题意知:;若,则,时,的取值范围为.18.(1)已知,求的值(2)已知,,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简,然后再代值计算即可.(2)利用同角三角函数间的关系,将平方求出的值,从而求出的值,再由诱导公式将所求式子化简,即可得出答案.【详解】(1) 所以(2)由,则,所以由,则 设,则由,所以【点睛】关键点睛:本题考查利用诱导公式化简,利用同角三角函数关系求值,解答本题关键是由同角三角函数的关系根据,先求出,结合角的范围求出的值,属于中档题.19.比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵,新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试,国道限速.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量(单位:)与速度(单位:)的数据如下表所示:01040600142044806720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:①;②;.(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函数表达式;(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中,其中,国道上行驶,高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量与速度的关系满足(1)中的函数表达式;高速路上车速(单位:)满足,且每小时耗电量(单位:)与速度(单位:)的关系满足).则当国道和高速上的车速分别为多少时,该车辆的总耗电量最少,最少总耗电量为多少?【答案】(1)选①,(2)当这辆车在高速上的行驶速度为,在国道上的行驶速度为最少,最少为. 【分析】(1)利用表格中数据进行排除即可得解;(2)在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】(1)解:对于③,当时,它无意义,故不符合题意,对于②,当时,,又,所以,故不符合题意,故选①,由表中的数据可得,,解得∴.(2)解:高速上行驶,所用时间为,则所耗电量为,由对勾函数的性质可知,在上单调递增,∴,国道上行驶,所用时间为,则所耗电量为,∵,∴当时,,∴当这辆车在高速上的行驶速度为,在国道上的行驶速度为时,该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少,最少为.20.已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期; (Ⅱ)若在区间上的最大值为,求的最小值.【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).【分析】(I)将化简整理成的形式,利用公式可求最小正周期;(II)根据,可求的范围,结合函数图象的性质,可得参数的取值范围.【详解】(Ⅰ),所以的最小正周期为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.因为,所以.要使得在上的最大值为,即在上的最大值为1.所以,即.所以的最小值为.点睛:本题主要考查三角函数的有关知识,解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简,化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性,及公式中符号的正负.21.已知函数是偶函数.(1)当,函数存在零点,求实数的取值范围;(2)设函数,若函数与的图象只有一个公共点,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用偶数数的定义,即可求出实数的值,从而得到的解析式;令,得,构造函数,将问题转化为直线与函数的图象有交点,从而求出实数的取值范围;(2)依题意等价于关于的方程只有一个解,令,讨论的正根即可.【详解】(1)解:是偶函数,,即对任意恒成立,,.即,因为当,函数有零点,即方程有实数根.令,则函数与直线有交点,,又,,所以的取值范围是.(2)解:因为,又函数与的图象只有一个公共点,则关于的方程只有一个解,所以,令,得,①当,即时,此方程的解为,不满足题意,②当,即时,此时,又,,所以此方程有一正一负根,故满足题意,③当,即时,由方程只有一正根,则需,解得,综合①②③得,实数的取值范围为:.22.对于函数,若的图象上存在关于原点对称的点,则称为定义域上的“伪奇函数”.(1)试判断是否为“伪奇函数”,简要说明理由;(2)若是定义在区间上的“伪奇函数”,求实数的取值范围;(3)试讨论在上是否为“伪奇函数”?并说明理由.【答案】(1)是“伪奇函数”,理由见解析;(2);(3)答案见解析.【分析】(1)由“伪奇函数”的定义判断即可;(2)由题意可知,,即在有解,结合三角函数的性质即可求解;(3)由题意可知,在上有解,令,则,从而在有解,再分类讨论即可得出结果【详解】(1) ,.是“伪奇函数”.(2)为“伪奇函数”,,即,即在有解.,.又在恒成立,..(3)当为定义域上的“伪奇函数”时,则在上有解,可化为在上有解,令,则,从而在有解,即可保证为“伪奇函数”,令,则当时,在有解,即,解得.当时,在有解等价于解得,综上,当时,为定义域上的“伪奇函数”,否则不是.
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