2022-2023学年广东省惠州市高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市高一上学期期末数学试题（解析版），共20页。
惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高一数学试题全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1. 已知集合，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，然后可得答案.【详解】由题意得，，所以．故选：B．2. 命题“，使得”的否定是（）A. ，都有 B. ，使得C. ，都有 D. ，使得【答案】C【解析】【分析】利用存在量词命题的否定可得出合适的选项.【详解】由存在量词命题否定可知，原命题的否定为“，都有”.故选：C.3. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．故选：D．4. 用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表:x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989 则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为（）A. 1.125 B. 1.3125C. 1.4375 D. 1.46875【答案】B【解析】【分析】由图表知f(1.25)⋅f(1.375)<0，故由二分法思想再取(1.25，1.375)的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解.【详解】因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25，1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，故选：B.【点睛】本题主要考查用二分法求方程的根的近似值，考查运算求解能力，熟练掌握二分法求方程根的近似值的方法是快速解题的关键，属于基础题.5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）A B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可【详解】由函数（其中）的图象可得，所以，所以排除BC，因为，所以为增函数，所以排除A，故选：D6. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A. 1或4 B. 4 C. 2或4 D. 2【答案】A【解析】【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，由题知，进而解方程并结合弧长公式求解圆心角的弧度数即可.【详解】解：设扇形所在圆的半径为，弧长为，由扇形的周长为6，面积为2，所以，，解得或，由弧长公式，得，所以，当，时，可得；当，时，可得．以上均满足条件．所以，该扇形的圆心角的弧度数为1或4.故选：A7. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：）A. 22.2% B. 43.8% C. 56.2% D. 77.8%【答案】D【解析】【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．【详解】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：D．8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则（）A. 6 B. 12 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】令，，可判断出，均为奇函数，从而可得，的图象都关于点对称，进而可求得结果.【详解】令，则，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于点对称，令，则，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于点对称，所以函数与图象的交点关于点对称，所以，故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 下列各式中成立的是（）A.  B. C. （其中，） D. 【答案】BD【解析】【分析】根据指数幂的运算法则逐一判断即可.【详解】解：对于A，，故错误；对于B，，故正确；对于C，，故错误；对于D，，故正确．故选：BD.10. 已知函数为幂函数，则（）A. 函数奇函数 B. 函数在区间上单调递增C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】由幂函数的定义求，根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，根据幂函数的性质判断其单调性.【详解】因为为幕函数，所以，即，所以．函数的定义域为，，所以函数为偶函数，又函数在为增函数．故选：BC.11. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.12. ，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的是（）A. 函数为偶函数B. 若有7个根，则C. 当时，有D. 当时，【答案】ACD【解析】【分析】A选项，画出的图象，得到，从而根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，在同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，B错误；C选项，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合得到答案；D选项，观察图象得到当时，，令，由题意可知：，故.【详解】在同一直角坐标系中，作出的函数图象，如图所示：则的图象如下：从图象可知：，当时，，当时，，故，故为偶函数，A正确；在同一坐标系内画出与的图象，显然当经过点时，即时，两函数图象有5个交点，数形结合，要想有7个根，则，B错误；当时，，故，令，解得：，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合可得：当时，有，C正确； 从的图象可以看出，当时，，即当时，，令，由题意可知：，故，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分.13. 已知，，且，则ab的最大值为___________．【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式，可得答案.【详解】∵，，，当且仅当时等号成立，即，整理可得，所以ab最大值为4．故答案为：.14. 已知角和角的顶点为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若点在角终边上，角终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的定义求的正弦和余弦，由条件确定的关系，结合诱导公式求.【详解】终边上一点坐标为，所以，，由已知可得，所以，故．故答案为：.15. 已知定义域为R的函数满足以下两个条件：①对任意实数x、y，恒有；②在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数解析式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据指数运算以及指数函数的单调性写出的一个解析式.【详解】由，则可知指数函数满足该条件要求，是上的单调递增函数则指数函数的底数要，故均满足题意，故答案可以是．故答案为：（答案不唯一）16. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数t的取值范围是____________，设，则______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象找到，，然后利用、可得答案.【详解】有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，函数的图象如下图，且与的交点的横坐标为， 与的交点的横坐标为，由图可知，由二次函数的对称性，可得，由，得，即，得，所以，故.故答案为：①；②-8.【点睛】本题考查了函数零点的问题，解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．考查了数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知角顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点．（1）分别求出、和的值；（2）求的值．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义进行求解即可；（2）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【小问1详解】由三角函数定义知，所以，；【小问2详解】．.18. 已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）当时，恒成立．求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.【小问1详解】由函数，得，即，解得或，所以函数的定义域为，关于原点对称．又，，所以是奇函数；【小问2详解】恒成立，则，即在恒成立，令，因为在上单调递增，当时，，所以时，，则实数的取值范围是．19. 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性并证明.【答案】（1）1（2）在上为减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可；（2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可；【小问1详解】解：由为定义在上奇函数可知，解得.经检验，此时对任意的都有故.【小问2详解】解：由递增，可知在上为减函数，证明如下：对于任意实数，，不妨设，则.∵单调递增，且，∴即，，，∴，∴，故在上为减函数.20. 全集，集合，集合，其中．（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A、B，结合并集的概念和运算即可求解；（2）根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解.【小问1详解】，当时，所以；【小问2详解】由，得，所以集合，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，所以B是A的真子集，所以且等号不同时成立，解得．即实数a的取值范围是．21. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
 （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】（1）选择模型②：，（2）441【解析】【分析】(1)由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，所以选择模型②：.由,确定，，确定的值，就可确定;(2)由第10天的日销售收入为505元确定，根据题意确定的解析式，分别用基本不等式和函数单调性求得最小值.【小问1详解】由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，，则日销售量与时间x的变化的关系式为．【小问2详解】因为第10天的日销售收入为505元，则，解得．由（1）知，由当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值441．22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（1）判断函数，是否是R上的有界函数；（2）试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是，是（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义，结合二次函数与对勾函数性质，依次讨论，的值域即可判断；（2）由题知，进而结合指数型复合函数的单调性，并分，，三种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：因为，所以其值域为，所以，，不存在符合题意的常数，使得，所以不是R上的有界函数，当时，，由对勾函数性质，，所以，在R上的值域为，所以，，所以，存在，使得，所以是R上的有界函数；【小问2详解】解：①当时，，，此时的取值范围是，②当时，易得在上是严格减函数，其值域为，所以，，此时的取值范围是，③当时，，若在上是有界函数，则区间为的定义域的子集，所以，恒不零，也即恒正或恒负，所以，或，解得或，此时的值域为，（i），即或时，，此时取值范围是，（ii），即时，，此时的取值范围是，综上，当或时，的取值范围是；当或时，的取值范围是；当时，不是区间上的有界函数．